環(huán)的凝聚性和Morphic性.pdf

1、凝聚環(huán)起源于對(duì)模的直積的研究.自上世紀(jì)60年代被引入以來，眾多學(xué)者們從環(huán)模理論、同調(diào)代數(shù)以及代數(shù)表示論的角度，對(duì)其進(jìn)行了廣泛的研究，是目前代數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)課題之一.Morphic環(huán)是W.K.Nicholson和E.Sánchez Campos于2004年定義的一種新環(huán)類.作為同態(tài)基本定理的對(duì)偶，左morphic環(huán)所具有的良好性質(zhì)以及它與經(jīng)典環(huán)類之間密切的聯(lián)系，引起了諸多環(huán)論學(xué)者的興趣并對(duì)其展開了深入研究.在此過程中涌現(xiàn)出一些重要的相關(guān)環(huán)類

2、，如:左擬morphic環(huán)和左廣義morphic環(huán).值得注意的是，左擬morphic環(huán)是左凝聚環(huán).另一方面，擴(kuò)張環(huán)是環(huán)論中一類重要的研究對(duì)象，人們常常利用環(huán)R的擴(kuò)張（如矩陣環(huán)Mn（R），三角矩陣環(huán)Tn(R)，多項(xiàng)式環(huán)R[x]等）來研究R的性質(zhì).受前人關(guān)于Mn(R)的凝聚性以及R[x]/（xn）的相關(guān)morphic性的研究啟發(fā)，本文從擴(kuò)張環(huán)的角度，圍繞凝聚環(huán)、廣義morphic環(huán)以及與它們密切相關(guān)的重要環(huán)類展開研究.
　　第二章首先

3、考慮三角矩陣環(huán)Tn(R)及其同構(gòu)意義下的子環(huán)R[x]/(xn)的凝聚性(n≥1)，分別證明了這兩種擴(kuò)張環(huán)類是左凝聚環(huán)都等價(jià)于R是左凝聚環(huán)，其次通過零化子條件，給出了R[x]/(x2)是左(m，n)-內(nèi)射環(huán)和R[x]/（xk）（k≥1）是左P-內(nèi)射環(huán)的等價(jià)刻畫，改進(jìn)了2006年J.L.Chen和Y.Q.Zhou關(guān)于R[x]/(x2)的(m，n)-內(nèi)射性的結(jié)果.在此基礎(chǔ)上，研究了R[x]/（xk）的FC性質(zhì)，證明了R[x]/xk）（k≥1）

4、是左FC環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左FC環(huán)，將J.L.Chen和Y.Q.Zhou的相應(yīng)結(jié)論從k=2推廣到任意正整數(shù)情形.
　　第三章首先討論了左廣義morphic環(huán)在左P-內(nèi)射條件下的零化子性質(zhì).其次給出了三角矩陣環(huán)Tn(R)是左廣義morphic環(huán)的等價(jià)刻畫，并利用該結(jié)果證明了Tn(R)（(V)n≥1）是左廣義morphic環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左凝聚左Bézout環(huán)，由此建立起左凝聚環(huán)、左Bézout環(huán)與左廣義morphic環(huán)之間的聯(lián)系.此外，說

5、明了當(dāng)n≥2時(shí)，左擬morphic環(huán)上的三角矩陣環(huán)Tn(R)都不是左擬morphic的，但都是左凝聚左廣義morphic的.
　　第四章主要考慮左PP環(huán)（一類特殊的左廣義morphic環(huán)）在模理論中的推廣—CP模.討論這類模的一些性質(zhì)和刻畫，證明了一族左R-模的直和⊕A Mα是CP模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mα是CP模，推廣了M.W.Evans關(guān)于左PP環(huán)的相應(yīng)結(jié)果;又證明了左PP環(huán)R是Baer環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)CP左R-模類關(guān)于直積是封閉的.其次給