幾類雙曲型方程交替方向有限元分析.pdf

1、雙曲型方程模型在自然科學(xué)方面有著廣泛的應(yīng)用背景，如在油氣勘探工作中，地震勘探是一種很重要的方法，因?yàn)樗粌H可以提供沉積覆蓋地區(qū)有關(guān)地下地質(zhì)、地層、巖性等方面的信息，而且工作效率高。地震勘探方法是在地表某測(cè)線上，在淺井中用炸藥震源人工激發(fā)地震波，從地震記錄中就可以提取與地質(zhì)構(gòu)造、地層巖性等有關(guān)的信息，從而有利于更準(zhǔn)確地尋找油氣層。該問(wèn)題的模型就可體現(xiàn)為對(duì)非線性雙曲型方程的研究。現(xiàn)在地震勘探正進(jìn)一步向高信噪比、高分辨率、高保真度、高精度的方

2、向發(fā)展，但是由于其復(fù)雜性，還需要在理論、方法和實(shí)用問(wèn)題上進(jìn)行探索。這些研究結(jié)果對(duì)于油氣資源的勘探、開發(fā)，環(huán)境科學(xué)的數(shù)值模擬和計(jì)算，以及在尋找地?zé)豳Y源及水文工程、城市建設(shè)、地殼測(cè)深等工作中有重要的應(yīng)用價(jià)值。 1971年，Douglas和Dupont[10]首次在矩形域上將交替方向和有限元方法相結(jié)合，提出交替方向有限元方法，該方法兼?zhèn)淞私惶娣较虻拇鎯?chǔ)量少，計(jì)算量低以及有限元的高精度特點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，Dendy,Fairweather

3、[11，12]，Bramble，Ewing，Li[13]，王申林[14]等作了進(jìn)一步的研究。對(duì)雙曲型方程交替方向有限元方法的工作最初是在[10]中提出，討論了最簡(jiǎn)單形式的雙曲型方程并得到H<'1><,0>-模誤差估計(jì)。[11]對(duì)[10]中針對(duì)雙曲型方程的交替方向有限元方法作了推廣，并得到最優(yōu)L<'2>模誤差估計(jì)。[12]提出一種新方法，通過(guò)轉(zhuǎn)化雙曲型方程中二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)得到關(guān)于一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)的耦合方程組，然后進(jìn)行離散，得到一個(gè)兩層交替方向

4、有限元格式，并得到H<'1><,0>-模和L<'2>-模誤差估計(jì)。該方法雖然不受等時(shí)間步長(zhǎng)的限制，對(duì)初始條件的選取也更具靈活性，但是它是針對(duì)一類變量分離系數(shù)型的特殊雙曲型方程進(jìn)行討論的，對(duì)一般形式的雙曲型方程則沒有提及。[10-14]這些工作都是將交替方向有限元方法局限在矩形域上，這顯然不適用于很多實(shí)際問(wèn)題[15，16]。有眾多學(xué)者對(duì)Galerkin交替方向法作了計(jì)算區(qū)域上的推廣。其中Dendy,Fairweather[17]等人將計(jì)算

5、區(qū)域推廣到矩形多邊形區(qū)域。Hayes[18-20]在80年代初將其推廣到更一般的非矩形區(qū)域和曲邊區(qū)域中，利用等參元和等參變換的Jacobi行列式的逼近來(lái)研究非矩形域上的非線性拋物問(wèn)題。對(duì)在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的各種問(wèn)題，Hayes[21]，Hayes，Kennon和Dulikravich[22]，Krishnamachari，Hayes[23]做了強(qiáng)調(diào)。該方法在流體流動(dòng)和熱交換問(wèn)題中的應(yīng)用在Hayes，Krishnamachari[24]，L

6、ewis，Morgan，Roberts[25]中作了討論。但是這種方法只是對(duì)拋物問(wèn)題進(jìn)行討論的，對(duì)非矩形域上雙曲型問(wèn)題并沒有文獻(xiàn)提及。 本文作者在袁益讓教授的精心指導(dǎo)下，就雙曲型方程的幾類數(shù)學(xué)模型問(wèn)題利用有限元方法的技巧，構(gòu)造了具有良好計(jì)算效果的交替方向有限元格式，對(duì)其作了理論上的分析，并首次給出算例說(shuō)明了方法的有效性。本文拓廣了前人的工作，不具有重復(fù)性。本文的工作共分為四章內(nèi)容。 第一章結(jié)合[10]中對(duì)矩形域上雙曲型問(wèn)

7、題提出的交替方向有限元方法和[19]中利用等參元，等參變換的Jacobi行列式的逼近來(lái)研究的思想，給出了兩類非線性雙曲型方程在非矩形域上的交替方向有限元方法。并且利用微分方程先驗(yàn)估計(jì)的理論和技巧，得到了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腖<'2>模誤差估計(jì)。本章共分兩節(jié)，分別討論了兩類非線性雙曲型方程，都是先提出問(wèn)題的三層和四層交替方向有限元方法，而后給出了兩種格式的矩陣形式，最后分別得到了兩種格式的誤差估計(jì)?！?．1的內(nèi)容投到《Applied Numerical

8、 Mathematics》，§1.2的內(nèi)容已被《Applied Mathematics and Computation》接收并已經(jīng)在網(wǎng)上發(fā)表。 第一章的創(chuàng)新之處在于：1)用等參元，等參變換的Jacobi行列式的逼近來(lái)研究的思想是針對(duì)拋物型方程提出的，沒有文獻(xiàn)用該方法對(duì)雙曲型方程進(jìn)行討論。本文彌補(bǔ)了這一點(diǎn)。 2)對(duì)雙曲型方程，首次提出四層交替方向有限元格式，這在已有文獻(xiàn)上沒有發(fā)現(xiàn)過(guò)。 第二章共兩節(jié)內(nèi)容，主要運(yùn)用[12]的思

9、想方法分別討論了矩形域上的二維和長(zhǎng)方體域上三維擬線性雙曲型方程的交替方向有限元方法。兩節(jié)的結(jié)構(gòu)相同，都是首先將雙曲型方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)耦合方程組，其次提出其交替方向有限元格式，利用微分方程先驗(yàn)估計(jì)的理論和技巧得到了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腍<'1>-模和L<'2>-模誤差估計(jì)，并且對(duì)于將雙曲型方程轉(zhuǎn)化為耦合方程組的這類解決問(wèn)題的方法，首次給出了數(shù)值算例。§2.1的內(nèi)容已被《Applied Mathematicsand Computation》接收并已經(jīng)在網(wǎng)上

10、發(fā)表?！?.2的內(nèi)容投到《計(jì)算數(shù)學(xué)》。 第二章的創(chuàng)新之處在于：1)[12]中提出的新方法是針對(duì)一類變量分離系數(shù)型的特殊雙曲型方程進(jìn)行討論的，對(duì)更一般形式的雙曲型問(wèn)題沒有提及，而本文作了討論；2)該新方法自提出后并沒有數(shù)值分析的支持，而本文則首次給出了數(shù)值算例來(lái)支持理論分析結(jié)果，指出該方法的確是一類切實(shí)可行的使用高效的工程計(jì)算方法。 第三章在第二章的基礎(chǔ)上仍然運(yùn)用[12]的思想方法討論了矩形域上非線性雙曲型方程的交替方向有

11、限元方法。本章的結(jié)構(gòu)同第二章，也是首先將雙曲型方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)耦合方程組，其次提出其交替方向有限元格式，得到了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腍<'1>-模和L<'2>-模誤差估計(jì)，并首次給出了非線性問(wèn)題的數(shù)值算例。這部分內(nèi)容沒有在相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)。第三章的內(nèi)容投到《Journal of Computational and Applied Mathematics》。 第四章討論了另外形式的方程：廣義KdV方程。孤立子作為一個(gè)典型的非線性現(xiàn)象在物理和工程領(lǐng)域有著

12、廣泛的應(yīng)用。關(guān)于KdV方程及更為廣泛一類進(jìn)化方程的理論研究已有很多工作[26-29]。雖然求廣義KdV方程數(shù)值解的工作也有很多[30-36]，但并沒有對(duì)數(shù)值解和精確解給出充分的比較。對(duì)于廣義KdV方程，當(dāng)石x→±∞時(shí)，邊值趨于0，這樣在對(duì)數(shù)值解和精確解作比較時(shí)，就有必要考慮對(duì)相對(duì)誤差的分析。但是對(duì)廣義KdV方程差分格式做相對(duì)誤差的分析未見到有論文提出。盡管在[30，35]中提出的偽譜方法對(duì)于求解廣義KdV方程的數(shù)值解比差分方法更有效，但

13、是對(duì)誤差的比較也僅限于L<'2>，L<,∞>模和計(jì)算時(shí)間的比較，并未涉及對(duì)相對(duì)誤差的比較。 §4.1首先對(duì)一類廣義KdV方程提出兩個(gè)差分格式Ⅰ和Ⅳ，并給出了它們的穩(wěn)定性證明。用Fourier方法分析了格式Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ的數(shù)值耗散和數(shù)值頻散。所得結(jié)果與在[31，32]中給出的一致。然后對(duì)幾種差分格式作了較詳細(xì)的比較，尤其注意了對(duì)相對(duì)誤差的比較。 §4．1的內(nèi)容已在《Communications in Numerical Met

14、hods in Engineering》上發(fā)表。 §4．2從另一角度用胞映射方法對(duì)廣義KdV方程全局吸引域進(jìn)行了討論。胞映射是點(diǎn)映射通過(guò)離散化得到的。點(diǎn)映射作為解決非線性動(dòng)力系統(tǒng)的有效工具，其一般方法可以追溯到Poincare和Birkhoff<'[37-38]>。簡(jiǎn)單胞映射方法(SCM)[39]是C.S.Hsu在20世紀(jì)80年代初提出和發(fā)展的。該方法對(duì)于研究高維非線性動(dòng)力系統(tǒng)全局穩(wěn)定性分析是很有效的工具，見[40-42]。本節(jié)

15、首先用行波法將廣義KdV方程轉(zhuǎn)化為常微分方程組，并得到廣義KdV方程的相圖，然后用SCM方法得到廣義KdV方程的全局吸引域和有限步吸引域。畫相圖時(shí)主要用到四階Runge-kutta方法，要選不同的初值，而SCM方法主要用到四階Runge-kutta方法和中心點(diǎn)法，不用考慮初值的問(wèn)題。比較相圖和吸引域，它們是一致的。這意味著可以從胞映射角度對(duì)孤立子進(jìn)行研究，這在相關(guān)文獻(xiàn)上還沒有發(fā)現(xiàn)?！?2的內(nèi)容已在《Chaos，Solitons&Frac

16、tals))上發(fā)表。 第四章的創(chuàng)新之處在于：1)首次對(duì)廣義KdV方程差分格式作了相對(duì)誤差的比較。21首次用胞映射方法討論了廣義KdV方程的全局吸引域。這些內(nèi)容在相關(guān)文獻(xiàn)上均沒有發(fā)現(xiàn)。 在外文論文部分共附有四篇論文，分為四章。其中第一章發(fā)表在《Applied Mathematicsand Computation》，第二章發(fā)表在《Applied Mathematics and Computation》，第三章已投稿到《Jou