一類變系數(shù)亥姆霍茲算子的特征模計(jì)算及應(yīng)用研究.pdf

1、以物理中的光波導(dǎo)為背景，數(shù)學(xué)上，本文分別對無界變系數(shù)亥姆霍茲方程的模式求解問題及反散射問題的數(shù)值算法兩類問題進(jìn)行了研究。第一類問題，對于緩變光波導(dǎo)，本文推導(dǎo)得到了使用完美匹配層(perfectly matched layer，簡稱PML)邊界的TM模式下傳播常數(shù)滿足的三角矩陣近似的色散方程;進(jìn)一步地，對一般的光波導(dǎo)，本文得到了使用PML邊界的TE和TM模式下全矩陣近似的高精度的色散方程。另外，本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的

2、漸近解公式，當(dāng)求解這兩種模在大模（|β|較大）時的高精度解時，它們可以作為使用牛頓迭代法高精度求解色散方程時的初始值。對于另一類問題，反介質(zhì)的重建問題，本文給出了較好的數(shù)值反演算法。
　　具體地說，對于無界的光波導(dǎo)，本文使用PML邊界條件將無界問題有界化。由于討論的是波導(dǎo)非均勻的情況，所以使用了微分轉(zhuǎn)移矩陣來推導(dǎo)芯層的轉(zhuǎn)移矩陣。本文首先推導(dǎo)了TM模式的微分轉(zhuǎn)移矩陣，并對該微分轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行積分，對積分后的形式進(jìn)行矩陣指數(shù)運(yùn)算。但是因

3、為指數(shù)運(yùn)算難以給出簡單明確的表達(dá)式，所以對波導(dǎo)緩變的情況，本文使用上、下三角矩陣近似微分轉(zhuǎn)移矩陣，最終推導(dǎo)得到了PML邊界下TM模式的兩個三角矩陣近似的色散關(guān)系，并對波導(dǎo)的大模情況，本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的漸近解公式。因?yàn)樵诓▽?dǎo)模式的分析中，相對于小模，高精度求解大模要困難得多，所以使用牛頓法求解泄漏模和Berenger模的高精度解時，它們的漸近解可以作為迭代初始值。在另一個研究工作中，為了進(jìn)一步提高特征值的精度，本

4、文不對微分轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行任何近似，直接對其積分，并對積分后的形式進(jìn)行矩陣變換，然后近似地進(jìn)行矩陣指數(shù)的計(jì)算，最終結(jié)合PML邊界條件，推導(dǎo)得到了特征模式（傳播模、泄漏模、Berenger模）滿足的全矩陣近似的高精度的解析的色散關(guān)系。這個色散關(guān)系對一般折射率連續(xù)變化且可導(dǎo)的波導(dǎo)都適用，不在局限于緩變波導(dǎo)的情況。而且，在一定的條件下，可以精確地計(jì)算矩陣指數(shù)，此時上面得到的高精度的色散關(guān)系變?yōu)榫_的色散關(guān)系。
　　對于波導(dǎo)中的反介質(zhì)重建問題