氣體動(dòng)力學(xué)中某些流場的唯一性.pdf

1、本博士后報(bào)告從數(shù)學(xué)角度研究了氣體動(dòng)力學(xué)中幾種含有亞音速流及跨音速激波的特殊流動(dòng)模式的唯一性。這些流動(dòng)模式包括:
　　 ●三維無限長擴(kuò)張管道內(nèi)定常亞音速可壓縮位勢流;
　　 ●三維有限長擴(kuò)張管道內(nèi)用定?？蓧嚎s位勢流描述的跨音速激波;
　　 ●在二維有限或無限長直管道內(nèi)定?？蓧嚎sEuler流中的跨音速激波;
　　 ●定常可壓縮Euler流中附在楔體上的斜跨音速激波;
　　 ●定?？蓧嚎sEuler流中有

2、三個(gè)激波和一個(gè)接觸間斷組成的Mach結(jié)構(gòu)。
　　 我們知道特殊流動(dòng)模式(特解)在氣體動(dòng)力學(xué)的理論研究(雙曲守恒律方程組)中起著關(guān)鍵作用。它們的構(gòu)造、穩(wěn)定性和唯一性可幫助我們更好地理解若干重要的物理現(xiàn)象,以及相關(guān)的非線性偏微分方程的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。如上五種流動(dòng)模式的構(gòu)造是經(jīng)典的,而且在過去的幾年中對它們的穩(wěn)定性已有了深入的研究。我們的工作是在對流場的正則性和下游亞音速流的相當(dāng)合理的假設(shè)下進(jìn)一步建立其唯一性。
　　 在數(shù)學(xué)上,我

3、們所解決的是在有界或無界區(qū)域內(nèi)擬線性橢圓雙曲復(fù)合混合型方程(組)的自由邊界問題的解的唯一性。這里跨音速激波是自由邊界,它與其前面的超音速流和其后的亞音速流需同時(shí)被求解。這與在定常流中的超音速流或超音速-超音速激波不同,后者控制方程(位勢流方程或Euler方程組)是純粹雙曲型的,而前者在跨音速激波后的亞音速流的控制方程是橢圓型或橢圓-雙曲復(fù)合-混合型的。這使得從數(shù)學(xué)上分析更困難。
　　 我們發(fā)展的證明方法是基于各種橢圓方程(組)的

4、最大值原理以及對激波所滿足的R-H跳躍條件的細(xì)致分析。本質(zhì)上我們建立了流場的L∞估計(jì),這對于以后跨音速激波問題的一般性研究是必要的。
　　 本文的主要內(nèi)容安排如下:
　　 第一章是緒論,對已有的與這些流動(dòng)特解相關(guān)的存在性、穩(wěn)定性及唯一性方面的文獻(xiàn)作一簡略的敘述。我們還列出了一些未解決的問題。
　　 第二章以三維定常位勢流方程為模型對具有任意光滑截面的無限長直擴(kuò)張管內(nèi)的亞音速流進(jìn)行了研究。在當(dāng)|X|→∞時(shí)解的梯度是

5、O(1/|X|)階的條件下,通過證明一個(gè)無界錐形區(qū)域內(nèi)橢圓方程的極值原理,得到球形對稱亞音速流是唯一的結(jié)論。相似的結(jié)論對兩維無限長直擴(kuò)張管內(nèi)的定常亞音速Euler流也是成立的。
　　 第三章對一類具有任意截面的直擴(kuò)張管以三維定常可壓縮位勢流方程為模型研究了跨音速激波的唯一性。證明了若進(jìn)口氣流是超音速且是球形對稱,出口給定適當(dāng)大(小)的球形對稱的壓強(qiáng)(速度),則在管道內(nèi)存在唯一的跨音速激波,而且激波、及其前的超音速流和其后的亞音速

6、流均是球形對稱。這是橢圓雙曲混合型方程自由邊界問題的一個(gè)整體唯一性的結(jié)論,通過最大值原理和恰當(dāng)?shù)倪x取比較函數(shù)得以證明。
　　 第四章以二維定常完全可壓縮Euler方程組為模型證明了在給定一致超音速來流,以及恰當(dāng)?shù)南掠蝸喴羲贇饬鳁l件下,氣體動(dòng)力學(xué)中如下有激波產(chǎn)生的三種基本流動(dòng)模式(特解)在分片光滑的C1函數(shù)類內(nèi)均是唯一的:(I)有限和無限直管道內(nèi)在固定激波波前上的一點(diǎn)后的跨音速正激波;(ii)一無限楔體上的斜跨音速激波;(iii)