曲線曲面造型的若干前沿問題研究.pdf

1、曲線曲面造型是CAD系統(tǒng)建模的一個重要環(huán)節(jié).優(yōu)良的建模功能在于它的高效性與高精度，這不僅能夠大大節(jié)省用戶的時間，而且可以精準地獲取產(chǎn)品的理想外形.隨著CAD系統(tǒng)的快速發(fā)展，與草圖模塊有關(guān)的用戶常用功能中，諸如特殊曲線的快速成型、曲線插值、邊界約束等功能中，都不斷產(chǎn)生一些前沿性研究課題;與Nurbs模塊有關(guān)的直紋面等特殊曲面的快速生成、邊界曲線給定條件下的光滑曲面生成、以及分割、縫合等曲面操作中，也時常出現(xiàn)一些用戶深感困惑的熱門難題.基于

2、以上所列舉的曲線曲面造型的前沿課題，本文作了深入研究，在以下五個方面獲得了創(chuàng)新性的理論成果:
　　1.可弦長參數(shù)化的復(fù)有理曲線的構(gòu)造及其參數(shù)化.鑒于Bézier曲線的弦長參數(shù)化在參數(shù)曲線的點逆向工程中有著重要的應(yīng)用，利用復(fù)有理Bézier曲線這個工具，推導(dǎo)了2次和3次復(fù)有理Bézier曲線可弦長參數(shù)化的一些充分條件，進一步地，給出了選擇控制頂點和權(quán)因子來構(gòu)造可弦長參數(shù)化曲線的算法.所構(gòu)造的可弦長參數(shù)化的復(fù)有理Bézier曲線中，一

3、類2次的曲線通過其所有控制頂點，一類3次的曲線除了插值給定的端點及其切向之外，還提供2個自由度來調(diào)節(jié)曲線的形狀.數(shù)值例子表明，本文所推導(dǎo)的對復(fù)有理施以弦長參數(shù)化的方法是十分有效的.其次，為了更加方便清晰地應(yīng)用復(fù)形式的有理de Casteljau算法和細分算法，通過研究一次復(fù)有理Bézier曲線的最優(yōu)參數(shù)化問題，提出2種最優(yōu)參數(shù)化方法——代數(shù)方法和幾何方法.代數(shù)方法借助直接的代數(shù)運算推導(dǎo)曲線在M(o)bius變換下的重新參數(shù)化，使得這種參

4、數(shù)化在L2范數(shù)下最接近于弧長參數(shù)化;而幾何方法從一次復(fù)有理Bézier曲線的內(nèi)在幾何性質(zhì)出發(fā)，直接求得曲線在M(o)bius變換下的最優(yōu)參數(shù)化，進而揭示曲線最優(yōu)參數(shù)化的本質(zhì).另外，從應(yīng)用角度給出了用一次復(fù)有理Bézier曲線插值3個給定點的公式.實驗結(jié)果表明，在最優(yōu)參數(shù)化后，曲線上的等參數(shù)點分布更加均勻，因而擁有更強的實用性.
　　2.3次LN曲線與PH曲線的構(gòu)造.為了更有效地利用具有線性法向量的3次Bézier曲線（稱為LN B

5、ézier曲線）來求解等距曲線，本文給出了用3次LN曲線逼近一般的n次Bézier曲線的3種方法.其中，基于控制頂點偏移的逼近方法等價于求解一個1元2次方程，而基于L2范數(shù)的逼近方法等價于求解一個1元4次方程.其次，本文給出了基于Hausdorff距離的曲線最佳逼近的充分必要條件，進而得到了對n次Bézier曲線作此類逼近的算法.實例表明，基于Hausdorff距離的逼近，不僅其誤差遠小于基于控制頂點偏移的和基于L2范數(shù)的逼近誤差，而且

6、算法十分簡單方便.另外，鑒于PH曲線可精確表示等距曲線從及曲率計算與控制對曲線設(shè)計的極端重要性，本文給出了最小化邊界約束的3次PH曲線的最大曲率的求解過程及答案.由于帶邊界約束的3次PH曲線有2個自由度，最小化該曲線的最大曲率等價于求解一個帶邊界條件的二元函數(shù)的最小值.
　　3.基于函數(shù)值帶權(quán)的雙變量的有理三次樣條插值方法.這種樣條插值方法有以下幾個好處，第一，能夠在不改變插值點的值的情況下通過改變參數(shù)來調(diào)節(jié)插值曲面的形狀;第二，

7、當參數(shù)取任何正值時，插值函數(shù)都是C1連續(xù)的;第三，插值函數(shù)有簡單的顯式表達;第四，插值函數(shù)只依賴于函數(shù)值而不用求函數(shù)的偏導(dǎo)，計算十分簡潔.本文還討論了這種樣條插值函數(shù)的樣條插值基、矩陣表示、界估計、誤差分析等優(yōu)良性質(zhì).
　　4.以測地線或曲率線作為給定邊界線的曲面造型新方法.給出了基于4階偏微分方程的曲面構(gòu)造方法.與基于求解控制頂點的方法相比，它具有以下優(yōu)點:第一，在退化情形下，可以自然地導(dǎo)出相應(yīng)的雙調(diào)和曲面造型;第二，偏微分方程

8、中的參數(shù)蘊含著彈性與剛性等物理意義;第三，需要求解的參數(shù)少，因而計算簡單、高效.另外，本文還給出了以給定曲線為公共邊界的兩張C1連續(xù)拼接曲面的例子.
　　5.基于L2距離的計算來構(gòu)造逼近曲面.鑒于曲線曲面之間的距離計算是有理曲線曲面的降階逼近和多項式逼近等幾何逼近以及幾何設(shè)計的重要前題，本文首先給出了基于升階矩陣的兩張有理Bézier曲面的L2距離表示，然后利用這個L2距離表示和最小二乘法，對有理Bézier曲面多項式逼近的誤差作