關(guān)于某些范疇的等價和對偶.pdf

4、ting模成為最近模理論研究的中心論題. Colby和Fuller將這些模推廣到了costar模．在某種意義下，costar模可看作是*-模的對偶，參看[39]． 范疇理論和同調(diào)方法與tilting模的研究密切相關(guān)，并且tilting理論已經(jīng)推廣到抽象的范疇，例如導(dǎo)出范疇，參看[8]．許多關(guān)于tilting理論的結(jié)果需要有限條件，Colpi[31]考慮了Grothendieck范疇中不帶有限條件的1-tilting對象．

5、 在[27]中，Takeuchi給出了刻劃域上余代數(shù)上的余模范疇等價的定理，該定理是關(guān)于模范疇等價的Morita．理論的對偶．汪明義在域上的余代數(shù)上給出了classicaltilting余模的定義，并證明了在域上的右半完備右conoetherian余代數(shù)上的tilting理論(參看[59])．近年來，許多作者開始研究環(huán)上的余代數(shù)． Al-Takhman[21]將Morita-Takeuchi理論推廣到了環(huán)上的余代數(shù)．本文中，我們得到了下

6、列結(jié)果． 第一章，我們給出引言和預(yù)備知識． 第二章，我們給出co-*-模的定義并討論了1-cotilting模和CO-*-模之間的關(guān)系．Colpi[29]用*-?？虅澚?-tilting模，在第二章，我們用CO-*-?？虅澚?-cotilting模．而且，我們還將討論左A-模和右R-模范疇的小維數(shù)之間的關(guān)系，其中A是有限型cotilting雙模的自同態(tài)環(huán)．得到下列主要結(jié)果； 定理2．2．2設(shè)PR∈Mod-R．下列

7、條件是等價的： (1)PR是1-cotilting模； (2)p<,r>是co-*-模且Proj<,R> Cogen(PR)； (3)P<,R>是co-*-模且R ∈Cogen(P<,R>)； (4)P<,R>是忠實CO-*-模； (5)P<,R>是忠實cofinendo co-*-模且是Cogen(P<,R>)-內(nèi)射的． 定理2．4．7設(shè)<,A>P<,R>是有限型cotilting雙模，

8、其中A=End<,R>(P)． (1)若fin.dimR=d<∞，則fin.dimA≤d+1． (2)若fin.dimA=d<∞，則fin．dimR≤d+1． (3)若fin.dimR<∞或fin.dimA<∞，則Ifin.dimR-fin.dimAI<1． 第三章，我們給出了CO-*<'n>-模的定義并討論了n-cotilting模和CO-*<'n>-模的關(guān)系，用CO-*<'n>?？虅澚薾-cotilt

9、ing模．得到下列主要結(jié)果： 定理3．2．4設(shè)P<,R> ∈Mod-R且Cogen<,n>(P<'R>)取子模閉．記ProjR為所有投射R-模組成的集合．下列條件等價． (1)P<'R>是n-cotilting模； (2)P<,R>是CO-*<'n>-模且Proj<,R> Cogen<,n>(P<,R>) <'⊥>P<,R>． 第四章，我們給出了artin代數(shù)條件下r-costar模的定義． Colby和

10、Fuller[39]給出了costar模的定義，且costar模誘導(dǎo)出模范疇之間的對偶． r-costar?？煽醋鲗ostar模理論中的子范疇cogen(Ph)替換為子范疇Ref(PA)得到．并且我們給出了r-costar模的刻劃并討論了帶有特殊性質(zhì)的r-costar模．得到下列主要結(jié)果： 定理4．4．2設(shè)P ∈rood-A，下列條件等價． (1)P是r-eostar模，Ref(P<,A>)是resolving子范疇．

11、 (2)Ref(P<,A>)=KerExt<'i≥1<,A>(-，P)． 第五章，我們給出Grothendieck范疇中n-tilting對象和*<'n>-對象的定義，并在Grothendieck范疇中得到了關(guān)于不帶有限條件的n-tilting對象的一些結(jié)果，推廣了Colpi[31]中1-tilting對象和魏[52]中n-tilting模的結(jié)果．得到下列主要結(jié)果： 定理5．2．5設(shè)V是木*<'n>-對象，A=E

12、ndy(v)．則下列條件是等價的． (1)V是*<'n>-對象． (2)V是selfsmall，任意正合列O→L→M→N→O，其中M，N ∈Gen<,n>(v)，我們有L ∈Gen<,n>(V)當且僅當誘導(dǎo)序列0→H<,V>(L)→H<,v>(M)→H<,v>(N)→O是正合的． (3)V是selfsmall，任意正合列O→N→V(x)→M→O，其中M ∈Gen<,n>(v)，X是集合，我們有N ∈Gen<,n>

13、(V)當且僅當誘導(dǎo)序列O→Hv(n)→Hv(V<'(x)>)→H<,v>(M)→0是正合的． (4)v誘導(dǎo)出等價第六章，我們給出n-self-cotilting余模和n-cotilting余模的定義，其中n-self-cotilting余模是Wisbauer[11]中self-cotilting余模的推廣，n-cotilting余模是汪[58]中tilting余模的推廣．并得到了由n-self-cotilting余模和n-cot

14、ilting余模誘導(dǎo)的余模范疇之間的等價．在余模范疇中得到了[52]中關(guān)于模范疇等價的對偶結(jié)果．在6.5節(jié)，我們給出了n-cotilting余模的例子．得到下列主要結(jié)果： 定理6．2．5下列條件是等價的． (1)T是擬有限self-co-small n-self-cotilting余模． (2)T是擬有限self-co-small余模，并且對任意正合序列0→L→M→N→O，其中L,M ∈Cogen<,n>(T)，

15、我們有N ∈Cogen<,n>(T)當且僅當誘導(dǎo)序列O→F(L)→F(M)→F(N)→O是正合的． (3)T是擬有限self-co-small余模，并且對任意正合序列O→N→T<'x>→M→O，其中N ∈Cogen<,n>(T)，X是集合，我們有M ∈Cogen<,n>(T)當且僅當誘導(dǎo)序列O→F(Ⅳ)→F(T<'x>)→F(M)→O是正合的． (4)T是擬有限余模，并且T誘導(dǎo)出等價第七章，我們給出(n，t)-擬內(nèi)射余模

16、的定義并得到了余模范疇之間的等價，在余模范疇中得到了[56]中關(guān)于模范疇等價的對偶結(jié)果．得到下列主要結(jié)果： 定理7.1.6如果T<,c>是擬有限self-co-small(n，t)-擬內(nèi)射余模，其中n≥2，1≤t≤n-1，則任意O≤i≤t-1，有等價F：T<,i>=A<,i>：G. 第八章，我們給出了∞-擬內(nèi)射余模和∞一cotilting余模的定義，并得到了余模范疇之間的等價，在余模范疇中得到了[57]中關(guān)于模范疇等價的

17、對偶結(jié)果.得到下列主要結(jié)果： 定理8.1.4設(shè)T<,c>是擬有限self-co-small∞-擬內(nèi)射余模，D=hc(T<,c>，T<,c>).則下列條件等價. (1)T是∞-擬內(nèi)射余模. (2)若O→_L→M→N→O是任意正合列，其中L,M∈Cogen<,∞>(T)，我們有N∈Cogen<,∞>(T)當且僅當誘導(dǎo)序列O→F(L)→F(M)→F(N)→O是正合的. (3)若O→N→T<'x>→M→O是任意正