Block型李代數(shù)的量子化及廣義Verma表示.pdf

1、李代數(shù)是由挪威數(shù)學(xué)家S.Lie和德國數(shù)學(xué)家W.Killing在研究無窮小變換的概念時各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的.由于其在微分方程、微分幾何等許多學(xué)科中的廣泛應(yīng)用使得該學(xué)科得以迅速的發(fā)展.結(jié)構(gòu)理論和表示理論是李代數(shù)理論中的兩個最主要的課題.特別地，無限維李代數(shù)的表示理論是許多數(shù)學(xué)物理學(xué)家一直很感興趣的問題，也是近年來代數(shù)學(xué)科中最活躍的分支之一. 量子群是在二十世紀(jì)八十年代由V.G.Drinfeld和M.Jimbo在研究物理問題時，特別是對Ya

2、ng-Baxter方程的研究中各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的.量子群不是群，而是特殊的Hopf代數(shù)，是一個李代數(shù)的普遍包絡(luò)代數(shù)的形變.量子群有一個很重要的結(jié)構(gòu)，即李雙代數(shù)結(jié)構(gòu).所謂李雙代數(shù)就是一個李代數(shù)同時具有一個李余代數(shù)結(jié)構(gòu)，而這兩種結(jié)構(gòu)滿足一定的相容條件.對李代數(shù)()來說，經(jīng)典的Yang-Baxter方程的解與()上的一個三角的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)是一一對應(yīng)的關(guān)系.計算出經(jīng)典的經(jīng)典Yang-Baxter方程的所有解一直是許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家非常關(guān)心的問題.

3、在Hopf代數(shù)或量子群理論中，構(gòu)造李雙代數(shù)的量子化是產(chǎn)生新的量子群的一個十分重要方法，研究李雙代數(shù)的重要目的之一就是對其量子化.因此研究李雙代數(shù)的上邊緣的、三角的結(jié)構(gòu)并對其進(jìn)行量子化是研究量子群的非常重要的課題之一.在量子群的研究中還有一個有趣的課題就是構(gòu)造李代數(shù)的量子形變及其相對應(yīng)的量子群結(jié)構(gòu).所謂的李代數(shù)的量子形變就是對李代數(shù)的李運(yùn)算中加入一些參數(shù)，使之廣義化.當(dāng)參數(shù)趨向于1時，李代數(shù)的量子形變就回到原來的李代數(shù)；另外，李代數(shù)的一些

4、性質(zhì)在它的量子形變中仍然保持.李代數(shù)的量子形變在數(shù)學(xué)物理等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用. 1958年R.Block引入了一類無限維單李代數(shù)(后來被稱為Block型李代數(shù)).自此以后，有關(guān)研究這類李代數(shù)的文章陸續(xù)出現(xiàn).Block型李代數(shù)之所以得到如此高的重視，其中一個重要原因在于該代數(shù)與Virasoro代數(shù)及Cartan型李代數(shù)密切相關(guān)(廣義Block型李代數(shù)包括CartanS型或H型李代數(shù)，Virasoro-like及q-類似Viraso

5、ro-like等代數(shù)).眾所周知，Virasoro代數(shù)在數(shù)學(xué)物理的很多領(lǐng)域有著極其重要的作用，Cartan型單李代數(shù)在李代數(shù)理論中也起著非常重要的作用.如今，Virasoro代數(shù)的表示問題已得到比較完善的解決，然而Cartan型李代數(shù)的表示理論卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠完善，所以研究一些特殊的Cartan型李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示是一項很有意義的工作. 最高權(quán)表示無疑是表示理論中的最重要的課題之一.目前對仿射Kao-Moody代數(shù)，Virasoro代

6、數(shù)，量子代數(shù)及Yangians的Verma表示的研究已取得了可喜的成績，但Verma表示的研究還有待發(fā)展，還有很多有趣的沒解決的問題.其中之一是對Verma表示的研究進(jìn)行推廣，而推廣Verma模本身是一個最自然的想法.研究廣義Verma模可以更好地理解經(jīng)典Verma模的結(jié)構(gòu)和性質(zhì). 本論文共分四部分，第一部分是研究一類Block型李代數(shù)(該代數(shù)與著名的李代數(shù)W1+∞密切相關(guān)，也是CartanS型或H型李代數(shù)的特殊情況)的李雙代數(shù)

7、結(jié)構(gòu)；研究q-類似Virasoro-like代數(shù)的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu).通過煩瑣且富有技巧的計算我們得出它們所有導(dǎo)子的集合中沒有外導(dǎo)子.在計算Block型李代數(shù)的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)時，我們應(yīng)用到了Virasoro代數(shù)的中間序列模的已有結(jié)果，把Block型李代數(shù)在伴隨表示意義下看成Virasoro代數(shù)的某類中間序列模來處理，把復(fù)雜的計算變的清晰而有條理.最后證明了這兩類李代數(shù)上的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)是上邊緣的，三角的.第二部分是對第一部分的李雙代數(shù)進(jìn)行量子化，

8、通過構(gòu)造Drinfeld扭對李雙代數(shù)的余乘法和對徑點(diǎn)扭一下，但保持乘法和余單位不變來實現(xiàn).第三部分是研究另一類Block型李代數(shù)的廣義Verma表示.我們構(gòu)造了該類李代數(shù)的廣義Verma模，確定了該表示的不可約性.第四部分是研究Heisenberg-Virasoro代數(shù)的量子形變，我們給出了Heisenberg-Virasoro代數(shù)的量子形變的一個實現(xiàn)，之后研究它的中心擴(kuò)張并計算出它的第二上同調(diào)群.最后給出與Heisenber-Vira