脈沖積分-微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論.pdf

1、本文主要研究脈沖積分-微分系統(tǒng){x'=f(t,x,Tx),t≠tk,x(tk)=Jk(x(tk-)),k∈N,x(t0+)=x0,(1)的穩(wěn)定性和有界性，其中Tx=∫t0tK(t，s，x(s))ds，K：R2+×Rn→Rn.脈沖積分-微分系統(tǒng)作為非線性脈沖微分系統(tǒng)[1，27]的一個(gè)重要分支，在自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用背景，如物理學(xué)中的電路模擬器與生物學(xué)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等的數(shù)學(xué)模型可以歸為脈沖積分-微分系統(tǒng)進(jìn)行分析探討，因而具有重要的應(yīng)用

2、價(jià)值，近年來(lái)也已引起了專家的興趣與關(guān)注[2-6].在對(duì)該系統(tǒng)的研究中，文[5]建立了脈沖積分-微分系統(tǒng)平凡解穩(wěn)定性的比較結(jié)果，文[2-4，6]研究了該系統(tǒng)解的有界性并給出了直接結(jié)果，然而整體來(lái)看，對(duì)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究尚處于起步階段，還有許多問(wèn)題有待解決，因此還有大量工作要做.本文研究脈沖積分-微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性與有界性，得到了若干新結(jié)果. 在第一章中，首先我們通過(guò)借鑒研究泛函微分系統(tǒng)[7-23，28，34]的Lyapunov函數(shù)結(jié)

3、合Razumikhin技巧的思想研究了脈沖積分-微分系統(tǒng)(1)零解的穩(wěn)定性，給出了五個(gè)定理，其中定理1.3.1-1.3.4均減弱了V函數(shù)在脈沖點(diǎn)的限制條件，而定理1.3.5中,Lyapunov函數(shù)沿系統(tǒng)(1)的解的導(dǎo)數(shù)可以放寬，不再局限于常負(fù)或定負(fù)，同樣能夠得到系統(tǒng)(1)零解的一致漸近穩(wěn)定性，在用于判斷時(shí)更有效且范圍更廣.本章第三節(jié)最后舉例說(shuō)明了定理的實(shí)用性.其次，由于微分系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性無(wú)法提供有關(guān)解的衰減率的有效信息，同

4、時(shí)各種穩(wěn)定性定義又均是單方面的估計(jì)，從而我們需要引入嚴(yán)格穩(wěn)定性的概念[22-24].本章第四節(jié)就首先給出系統(tǒng)(1)零解嚴(yán)格穩(wěn)定性的定義，然后同樣利用Lyapunov函數(shù)結(jié)合Razumikhin技巧的思想給出了系統(tǒng)(1)零解嚴(yán)格穩(wěn)定性的兩個(gè)直接結(jié)果. 在第二章中，我們主要對(duì)系統(tǒng)(1)關(guān)于兩個(gè)測(cè)度的有界性進(jìn)行分析與研究，仍然通過(guò)建立適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)并結(jié)合Razumikhin技巧，給出了五個(gè)定理，均為系統(tǒng)(1)關(guān)于兩個(gè)測(cè)度有

5、界性的直接結(jié)果.需要指出的是，定理2.3.2與定理2.4.2減弱了V函數(shù)在脈沖點(diǎn)的限制條件，而定理2.4.3則不再要求Lyapunov函數(shù)沿系統(tǒng)(1)的解的導(dǎo)數(shù)局限于常負(fù)或定負(fù)，同樣可以得到系統(tǒng)(1)關(guān)于(h0，h)的一致最終有界性.在研究過(guò)程中，本文采取了不同于文[3，4,6]的證明方法，通過(guò)分脈沖區(qū)間討論與數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合的思想，省去了對(duì)所尋求點(diǎn)是否為脈沖點(diǎn)分情況討論的情形，從而使證明過(guò)程可以更為簡(jiǎn)潔和明晰.本章最后也同樣給出了一個(gè)

6、例子來(lái)驗(yàn)證結(jié)果的有效性. 在第三章中，首先我們給出錐的定義，在錐上定義序關(guān)系.然后介紹了錐值Lyapunov函數(shù)的概念及其沿系統(tǒng)(1)的解的導(dǎo)數(shù)定義.在用向量Lyapunov函數(shù)方法得出比較結(jié)果時(shí)，總是要求比較系統(tǒng)在標(biāo)準(zhǔn)錐R+n上具有擬單調(diào)非減性.但具有穩(wěn)定性的比較系統(tǒng)卻不一定滿足這一性質(zhì).當(dāng)我們用適當(dāng)?shù)腻F來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)錐R+n后，對(duì)比較系統(tǒng)降低了這一要求，具有明顯的優(yōu)越性[29-33，35].本章中我們利用錐值Lyapunov函數(shù)