可解群與p-冪零群的若干充分條件.pdf

1、在有限群的研究中,利用類似正規(guī)子群的置換性來刻畫群的結(jié)構(gòu)可得到一些深刻的結(jié)果.如群G的一個子群H稱為在G中擬正規(guī),若對任意的K≤G,HK=KH.G的一個子群H稱為在G中S-擬正規(guī)的,如果對于G的任意Sylow子群P,H與P可以交換.S-擬正規(guī)子群這個概念是由Kegel于1962年提出的,并被眾多的專家研究.例如,Asaad,李樣明,王燕鳴等.近年來,Ballester-Bolinches和Pedraza-Aguilera繼續(xù)推廣這個概念

2、到S-擬正規(guī)嵌入子群.G的一個子群H稱為在G中S-擬正規(guī)嵌入,如果對于H的每個素因子p,H的Sylow p-子群也是G的某個S-擬正規(guī)子群的Sylow p-子群.本文中,我們從一個新的角度研究S-擬正規(guī)子群的另外一種推廣.回憶補子群定義知,如果G=HB,稱子群H在G中有一個補子群B.在這個基礎上,李世榮等給出了SS-擬正規(guī)子群的定義.群G的子群A稱為SS-擬正規(guī)的,如果存在B≤G使得G=AB,且A與B的所有Sylow子群可交換相乘.本文

3、的主要目的是利用SS-擬正規(guī)子群研究有限群的性質(zhì)(如可解性,超可解性,p-冪零性).本文共分為兩章,第一章主要介紹所涉及的有關(guān)研究背景,基本概念,引理和基本結(jié)果.第二章利用SS-擬正規(guī)子群的性質(zhì)研究有限群為可解群,超可解群,p-冪零群的一些充分條件,得到主要結(jié)果如下:定理2.1.1設p為|G|的素因子,P∈Sylp(G)且(|G|,p-1)=1,若P是G的SS-擬正規(guī)子群,則G為p-可解群.特別地,如果G的所有Sylow子群在G中SS-

4、擬正規(guī),則G是可解群.第一部分,我們通過討論極大子群與SS-擬正規(guī)子群的關(guān)系得到了可解群的一些充分條件.定理2.1.3設M為G的極大子群,如果M的任意Sylow子群在G中SS-擬正規(guī),則G是可解群.定理2.1.4設p為整除|G|的最小素因子,P∈Sylp(G),A是P的一個固定的極大子群.若A在G中SS-擬正規(guī),則G是可解群.定理2.1.5設M為G的偶階極大子群.若M是內(nèi)p-冪零的,且M的Sylow p-子群在G中SS-擬正規(guī),則G是可

5、解群.第二部分,我們通過研究群G的非循環(huán)的Sylow子群來討論群的超可解性.定理2.1.8設G為有限群,p為|G|的一個素因子,對于G的每個非循環(huán)的Sylow p-子群P,Md(P)中的每個元素在G中SS-擬正規(guī),則G是超可解群.定理2.1.10設G是有限群,HG使得G/H超可解,若H的每個非循環(huán)的Sylow子群的極大子群在G中SS-擬正規(guī),則G是超可解群.定理2.1.12設F為包含U的飽和群系,G為一個群.則下列陳述等價:
　　

6、(1)G∈F;
　　(2)存在G的正規(guī)子群H使得G/H∈F,且H的每個非循環(huán)的Sylow子群的極大子群在G中SS-擬正規(guī)。
　　定理2.1.14設F為包含U的飽和群系,G為一個群.則下列陳述等價:
　　(1)G∈F;
　　(2)存在G的正規(guī)A-群H使得G/H∈F,且H的每個非循環(huán)的Sylow子群P的極大子群在NG(P)中SS-擬正規(guī)。
　　定理2.1.16設G是QCLT群,若G的Sylow2-子群G2的換位

7、子群G’2在G中SS-擬正規(guī),則G是超可解群.定理2.1.17設G是QCLT群,若G的Sylow2-子群G2的極大子群在G中SS-擬正規(guī),則G是超可解群.第三部分通過討論某些子群的素數(shù)階子群和SS-擬正規(guī)子群的關(guān)系,得到了以下定理:定理2.1.21設G=AB,其中A,B為G的非平凡子群且G’冪零.若A,B的所有素數(shù)階子群在G中SS-擬正規(guī),則G是超可解群.定理2.1.24設F為包含U的飽和群系,G為一個群且G中存在具有Sylow塔的正規(guī)

8、子群H使得G/H∈F,若H的任意Sylow子群Q的素數(shù)階及4階循環(huán)群在NG(Q)中SS-擬正規(guī),則G∈F.第四部分,利用SS-擬正規(guī)子群和一些特殊的子群,得到了有限群為p-冪零群的一些充分條件.定理2.2.1設p是|G|的最小素因子,P∈Sylp(G)且expP=pn,n≥1.若集合{H|H≤P,H’=1,exp H=pn,n≥1}中的每個元在G中SS-擬正規(guī),則G是p-冪零群.定理2.2.2設G是群,p為G的素因子且(|G|,p-1)

9、=1.若存在正規(guī)子群N使得G/N為p·冪零群且N的每個素數(shù)階及4階子群(p=2時)在G中SS-擬正規(guī),則G是p-冪零群.定理2.2.5設G是群,p為G的素因子,(|G|,p-1)=1且G與A4無關(guān).若存在G的正規(guī)子群N使得G/N為p-冪零群且N的Sylow p-子群的每個p2階子群在G中SS-擬正規(guī),則G是p-冪零群。定理2.2.9設p為|G|的最小素因子,若G的每個p階子群在G中SS-擬正規(guī)且G的Sylow p-子群交換,則G是p-冪