橢圓問題離散及其高效解法.pdf

1、本文以橢圓型偏微分方程的離散格式及其高效解法為研究對象，主要討論以下幾個方面的內(nèi)容： 首先，基于最近提出的P<,1>非協(xié)調(diào)四邊形有限元，構(gòu)造了一種新的四邊形有限體積離散格式用以求解兩階橢圓邊值問題。在網(wǎng)格剖分不滿足近似平行四邊形條件，即當(dāng)網(wǎng)格尺度h趨向于零時，所有四邊形單元K的兩條對角線中點的距離d<,K>不要求是O(h<'2>)階小量的情況下，證明了該格式在離散H<'1>范數(shù)和L<'2>范數(shù)意義下具有最優(yōu)的收斂階。 其

2、次，改進了兩階橢圓問題的Cell邊界元方法在三角形網(wǎng)格剖分情況下收斂性的理論分析結(jié)果，證明了該方法在H<'1>范數(shù)意義下具有最優(yōu)的收斂階。 再次，對非協(xié)調(diào)局部并行兩重網(wǎng)格算法進行了研究，給出了一種網(wǎng)格轉(zhuǎn)移算子的構(gòu)造方法，并證明了當(dāng)采用P<,1>非協(xié)調(diào)三角形有限元和P<,1>非協(xié)調(diào)三角形有限體離散格式時，該算法得到的數(shù)值解與真解之間的能量模范數(shù)誤差是最優(yōu)的；此外，將單位分解技巧與兩重網(wǎng)格算法相結(jié)合，提出了一種帶單位分解技巧的局部并

3、行兩重網(wǎng)格算法，理論分析和數(shù)值試驗均表明該算法能有效地將收斂精度提高O(h<'1/2>)階。 最后，分別討論了兩階橢圓問題的P非協(xié)調(diào)四邊形有限元和P<,1>非協(xié)調(diào)四邊形有限體積方法離散所得代數(shù)方程組的瀑布型多重網(wǎng)格解法，提出了一種新的網(wǎng)格加細方案以及相應(yīng)的網(wǎng)格轉(zhuǎn)移算子，并證明了在使用共軛梯度、Jacobi、Gauss-Seidel等迭代方法作為光滑算子時，該方法可以在能量模范數(shù)意義下達到最優(yōu)的收斂精度，并具有最優(yōu)的計算復(fù)雜度。