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1、正則代數(shù),本文也稱(chēng)之為Artin-Schelter正則代數(shù),最早是在1987年由Artin和Schelter定義的.它被看作是非交換射影空間的齊次坐標(biāo)環(huán),也被人們認(rèn)為是多項(xiàng)式環(huán)的非交換推廣.自此,關(guān)于它的分類(lèi)一直是非交換射影幾何領(lǐng)域里的一個(gè)重要問(wèn)題。
Artin,Tate和Van den Bergh利用幾何的方法最終完全分類(lèi)了三維的正則代數(shù).至于四維正則代數(shù),則主要分成(12221),(13431)和(14641)三種類(lèi)型
2、.有很多學(xué)者從不同的角度和方法去研究了每一種類(lèi)型.特別地,Lu,Palmieri,Wu和Zhang對(duì)(12221)型進(jìn)行了分類(lèi).Rogalski和Zhang則考慮了(13431)型的分類(lèi).(14641)型則由Zhang和Zhang利用double ore擴(kuò)張以及pushout的方法去研究分類(lèi)問(wèn)題。
本文主要考慮的是具有兩個(gè)一次生成元的五維正則代數(shù)的分類(lèi).由Floystad和Vatne的工作可知,當(dāng)這樣的五維正則代數(shù)是Gel
3、fand-Kirillov維數(shù)大于等于四的整環(huán)時(shí),則只可能有三類(lèi):(123321)型,(124421)型和(125521)型.在此基礎(chǔ)上,本文具體考慮了(123321)型的五維正則代數(shù).利用A∞-代數(shù)的方法,在假定是整環(huán)且滿(mǎn)足一個(gè)generic條件下,我們完全分類(lèi)了具有兩個(gè)一次生成元和三個(gè)四次關(guān)系的五維正則代數(shù)。
本文主要的結(jié)果是在上述條件下,證明了共有九族這樣的代數(shù),即代數(shù)A,B,C,D,E,F(xiàn),G,H,I.通過(guò)對(duì)每一族
4、代數(shù)的具體分析,我們證明了這九族代數(shù)都是強(qiáng)noetherian,Artin-Schelter正則,Auslander正則以及Cohen-Macaulay的。
最后,我們考慮了最近由Floystad和Vatne給出的一個(gè)例子,即所謂的extremal代數(shù).通過(guò)精確地構(gòu)造平凡模的極小分解,他們證明了這個(gè)extremal代數(shù)是Artin-Schelter正則的,而且這個(gè)代數(shù)的Hilbert級(jí)數(shù)類(lèi)型不能通過(guò)分次李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)得到
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