工程應用中大型系統(tǒng)的模型降階.pdf

1、本文提出了一些降階方法主要屬于第一類的基于Krylov子空間的降階方法。此外，本文還提出了線性系統(tǒng)的時域小波(Wavelet)降階方法，并和已有的時域Chebyshev降階方法[Wang2002]作了比較。本文在下列幾章分別詳細闡述提出的一些方法。 在第一章中，先討論了兩種基于Krylov子空間的不同的投影過程，然后選擇其中的一種作為以下討論的理論基礎。 在第二章中，討論了線性系統(tǒng)的模型降階方法。在第一節(jié)提出線性系統(tǒng)的時

2、域小波降階方法，并詳細地與已有的Chebyshev時域模型降階方法比較[Wang2002]。我們利用了電路系統(tǒng)特有的稀疏性提出了關于求解小波系數(shù)矩陣對應的Sylvester方程的高效算法，即不完全Shur分解方法。求解小波系數(shù)矩陣是時域小波降階的關鍵，能否快速求解系數(shù)矩陣所對應的Sylvester方程關系到整個小波降階方法的有效性。數(shù)值模擬的結果表明小波降階方法在模擬快速變化3的電路時比Chebyshev降階方法[Wang2002]更為

3、有效。第二節(jié)我們將線性系統(tǒng)的模型降階方法引入電化學領域的快速模擬中，這是目前該領域進行快速模擬的創(chuàng)新方法，模擬的結果表明模型降階方法能夠有效的進行該領域線性系統(tǒng)的快速模擬。 時域小波降階方法提出的背景是在集成電路領域，特征尺寸越來越小，集成電路已經(jīng)步入納米時代。集成電路的規(guī)模已經(jīng)達到giga量級，時鐘信號的速度達到gigahertz(GHz)。在現(xiàn)代的大規(guī)模集成電路中，信號在互連網(wǎng)絡傳輸過程中，信號完整性以及信號延遲的影響主宰了

4、整個系統(tǒng)的性能[Gao1990，Hasegawa1984，Dai1992]。盡管許多互連電路著名的模型只由線性電子元件構成，比如：電阻，電容，電感，互感[Pillage1990]，但由于規(guī)模很大，仍然很難對其進行模擬。因此，互連網(wǎng)絡的模擬在現(xiàn)代工業(yè)應用和科學研究中成為一個很有挑戰(zhàn)性的研究熱點。 目前模型降階的方法被證明是對大規(guī)模電路進行快速模擬的很有效的方法。許多對線性系統(tǒng)的模型降階方法都是基于系統(tǒng)的頻域傳遞函數(shù)矩匹配的原理，通

5、過逼近傳遞函數(shù)的矩來得到降階的模型。例如經(jīng)典的方法AWE[Pillage1990]，PVL[Feldmann1995a]，這兩種方法已經(jīng)在電路模擬中被廣泛應用。然而，在許多情況下，即使降階后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)很精確，降階系統(tǒng)在時域的響應卻不是很精確。這是由于在現(xiàn)代技術中，系統(tǒng)工作的頻率不斷增長，互連電路的磁耦合的影響越來越嚴重，造成信號的完整性問題，比如信號波形的overshootingandundershooting現(xiàn)象使得互連線的沖擊

6、響應在波形上變得越來越復雜[Wang2002]。特別是，信號波形的快速變化使得基于頻域近似的降階方法不能夠在時域內得到精確的波形。因此需要有直接在時域進行降階的方法來代替頻域降階方法，從而能夠得到精確的時域響應。與頻域降階方法對傳遞函數(shù)進行逼近不同，時域降階方法直接用狀態(tài)空間的基函數(shù)來逼近系統(tǒng)的狀態(tài)變量比如基于Chebyshev基函數(shù)的降階方法[Wang2002]以及基于一般的正交多項式的降階方法[Wang2002]。例如，Chebys

7、hev降階方法[Wang2002]是用Chebyshev函數(shù)來逼近系統(tǒng)的時域狀態(tài)變量。通過計算Chebyshev基函數(shù)關于系統(tǒng)狀態(tài)變量的系數(shù)矩陣，可以把系數(shù)矩陣的列正交化得到一個投影矩陣，然后把系統(tǒng)的狀態(tài)變量投影到這個投影矩陣所在的子空間上，從而得到系統(tǒng)的降階模型。這個方法在4[Wang2002]中被用來和傳統(tǒng)的頻域降階方法比較，并被證明此方法比傳統(tǒng)的頻域降階方法更為精確和有效。 第三章針對微機電領域(MEMS)中的一個熱學問題

8、提出了兩種參數(shù)系統(tǒng)的模型降階方法。由這個熱學問題建立起來的模型是一個帶參數(shù)的線性系統(tǒng)。而傳統(tǒng)的模型降階方法只能處理不帶參數(shù)的系統(tǒng)，即系統(tǒng)矩陣是常數(shù)矩陣，矩陣中的元素是固定的取值。而為了更精確的描述一些物理系統(tǒng)，許多應用問題建立的起來的模型都帶有一些可變的參數(shù)[Daniel2004]。這些參數(shù)的值可以根據(jù)需要隨時調整。為了觀察系統(tǒng)對應于不同參數(shù)的取值條件下的不同特性，參數(shù)每改變一次，必須對原有的系統(tǒng)重新模擬一次，計算參數(shù)值改變后的系統(tǒng)的輸

9、出，從而驗證系7統(tǒng)的不同特征。如果需要驗證許多種不同參數(shù)的取值，那么就必須對原有的大規(guī)模系統(tǒng)進行許多次模擬。顯然會導致很大的計算量。參數(shù)模型降階的目的就是要用一個小規(guī)模的帶參數(shù)的系統(tǒng)代替原來的參數(shù)系統(tǒng)，使得原系統(tǒng)的所有參數(shù)都被保留在這個小規(guī)模系統(tǒng)中，并且這個小的參數(shù)系統(tǒng)的精度不會隨參數(shù)值的變化而變壞，即小的參數(shù)系統(tǒng)對任何參數(shù)的取值都能保證其精度在可接受的范圍內。然而，傳統(tǒng)的模型降階方法不能得到這樣的參數(shù)降階模型，因為這些方法只能對任意一

10、組固定的參數(shù)進行一對一的降階，這就表明如果我們需要驗證許多組的參數(shù)取值，那么傳統(tǒng)的模型降階方法必須計算許多個降階模型，每個降階模型對應每一組參數(shù)的取值。這樣的降階方法是很不實用的。在本章中，我們提出了兩種參數(shù)模型降階方法，一種方法是啟發(fā)式的方法，目前還沒有被理論證明，但是數(shù)值例子的模擬結果表明這種降階方法至少對于處理帶一個參數(shù)的系統(tǒng)是非常有效的。另外一種方法是基于對參數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行多級數(shù)展開的方法。數(shù)值模擬的結果非常精確。另外，近