兩類隨機變量和與U-統(tǒng)計量乘積的極限定理.pdf

1、全文共分成三章。 第一章是關于一類截斷部分和乘積的漸近正態(tài)性. 在Pakes和Steutel(1997)文章中，提出了漸近最大值的和的概念，定義如下.令{Xn，n≥1}是一列獨立同分布的隨機變量序列，并且具有連續(xù)的分布函數，對于n≥1，部分和為Sn=n∑n=1Xi，令Mn=max1≤j≤nXj，對某個固定常數a＞0并且1≤j≤n，稱Xj是一個漸近最大值當且僅當Mn-a＜Xj≤Mn.因此由定義 知道最大值本身也是一

2、個漸近最大值.定義漸近最大值的數目為Kn(a)=＃{j：Xj∈(Mn-a，Mn]}.從而所有漸近最大值的和為Sn(a)=n∑j=1XjI{Mn-a＜Xj≤Mn}·在第一章中，考察截斷和Tn(a)=Sn-Sn(a)=∑XjI{Xj≤Mn-a}.研究乘積∏nk=1Tk(a)的極限性質，得到了與Rempala和WesoloWski(2002)中關于獨立和的乘積相類似的結果.注意到只要有一個Tk(a)為零，則它們的乘積∏nk=1Tk(a)必為零

3、，為了避免這種情形的出現(xiàn)，當Tk(a)=0時，重新定義Tk(a)=1，即只考察非零Tk(a)的乘積，即∏k：Tk(a)≠0,k≤nTk(a).可以證明為零的Tk(a)，k=1，2,……，至多有有限個.有如下定理： 定理0.1{Xn，n≥1}為一列獨立同分布的正的并且平方可積的隨機變量，并且具有連續(xù)的分布函數，μ=EX1，σ2=VarX，變異系數γ=σ/μ，a為一個固定的常數，Sn(a)，Tn(a)如上定義，并且設隨機變量的分布具

4、有中尾分布，則(∏nk=1Tk(a)/n!μn)1/γ√nD→e√2N，其中N為標準正態(tài)隨機變量. 在第二章中，討論了U-統(tǒng)計量乘積的幾乎處處中心極限定理. 自從W.Hoeffding(1948a)引入U-統(tǒng)計量的概念以來，許多學者研究了這方面的內容并提供了很多有趣的結果和應用，可見M.Denker(1985)，A.J.Lee(1990)，Serfling(1980)第五章，對于U-統(tǒng)計量的漸近分布也有了不少的研究.在本

5、章中，設X1，X2，…，Xn是一列獨立同分布的隨機變量序列，具有分布函數F(x)，h(x1，x2,…，xk)：Rk→R是一個可測對稱函數，U-統(tǒng)計量定義為Un=1/()nm1≤il＜i2＜…＜im≤n∑h(Xi1，Xi2,…，Xim)記θ=Eh(X1，X2，…，Xm)，并設Var(h(X1，X2，…，Xm))＜∞.定義與可測對稱函數h相關的函數如下：對于c=0，1，2，…，m，令hc(x1，…，xc)=Eh(x1,……xc，Xc+1,…

6、…,Xm)上式中Xc+1,…，Xn是獨立同分布的隨機變量.以下只考慮非退化的Un統(tǒng)計量，即Varh1(Xl)＞0.定理0.2若Eh(X1,……,Xm)2＜∞，則對任何滿足λ(()A)=0的Borel集A()R有l(wèi)imn→∞1/lognn∑k=11/kIA(√k(Uk-θ/mσ1)=1/√2π∫Ae-1/2μ2dμ,a.s.,其中λ表示Lebesgue測度。定理0.3若Eh(X1，…，Xm)2＜∞，P(h(X1,……Xm)＞0)=1，記γ

7、=σ1/θ為變異系數，則1/logn∑n≤N1/nI(∏k≤n(Uk/θ)1/γm√n≤x)=F(x)a.s.上式中，F(xiàn)(x)為隨機變量e√2N的分布函數. 在第三章中研究ρ*混合隨機變量組列的收斂定理. 自1990年Bradley提出ρ*混合的概念以來，由于它在實際生活中的廣泛應用，其收斂性質引起了國內外很多極限理論學還較少，第三章中討論了一類ρ*混合陣列的完全收斂性，推廣了行獨立的隨機變量陣列相應的結果.稱隨機變量組

8、列{Xni，1≤i，n＜∞}為ρ*混合陣列，若對每一n≥1，{Xni}∞i是ρ*混合的，混合系數記為ρ*n(kn)，本章中只討論對任意n∈N，ρ*n(1)＜1的這樣的一類隨機變量陣列，顯然獨立的隨機變量陣列屬于這種陣列. 定理0.4設{Xni，1≤i，n＜∞}是零均值的ρ*混合的隨機變量陣列，{an，n≥1}是常數列，0＜an個∞，ψ(t)是正的，連續(xù)的偶函數，p≥1，且當|t|↑時，ψ(|t|)/|t|↑,ψ(|t|)/|t|