隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限性質(zhì).pdf

1、概率極限理論是概率論的主要分支之一，也是概率論的其它分支和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要基礎(chǔ).前蘇聯(lián)著名的概率學(xué)家Kolmogorov曾說(shuō)過(guò)：”概率論的價(jià)值只有通過(guò)極限定理才能被揭示，沒(méi)有極限定理就不可能去理解概率論中的基本概念的真正含義.”經(jīng)典的極限理論是概率論發(fā)展史上的重要成果，而對(duì)強(qiáng)收斂性的研究是近代概率極限理論研究中的熱門(mén)方向之一，本文的主要內(nèi)容也就是對(duì)此進(jìn)行深入研究. 對(duì)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列(X，Xn；n≥1}，Hsu和Robbi

2、ns(1947)首先提出完全收斂性的概念，他們和Erd(o)s(1949，1950)得到：∞∑n=1P(n∑k=1Xk|≥εn)＜∞，ε＞0成立，當(dāng)且僅當(dāng)EX=0，EX2＜∞.到了二十世紀(jì)六十年代，Katz(1963)及Baum和Katz(1965)推廣了他們的結(jié)果，得到如下結(jié)論；設(shè)蜀x1…，Xn，…為i.i.d.隨機(jī)變量序列，記Sn=n∑j=1Xj.令P＜2，r≥p.那么∞∑n=1nr/p-22P{|Sn|＞εn1/p}＜∞，ε＞0成

3、立的充要條件為E|X\|r＜∞，且當(dāng)≥1時(shí)EX=0.后來(lái)Davis(1968)證明了EX1=0且EX2＜∞等價(jià)于對(duì)任意ε＞0,∞∑n=1logn/nP{|Sn|≥ε√nlogn}＜∞.其后，有許多學(xué)者研究了Hsu-Robbins及Baum-Katz結(jié)果的各種形式的推廣，例如Heyde(1975)，Chen(1978)，Li，Wang和Rao(1992).更進(jìn)一步地，SpStaru(1999)和Gut和Spǎtaru(2000a)討論7當(dāng)

4、ε→0時(shí)的部分和的精確漸近性.但這類(lèi)結(jié)果對(duì)p=2不成立．Gut和Spǎtaru(2000b)用、√nloglogn代替nl/p，得到了重對(duì)數(shù)律的精確漸近性結(jié)果，Zhang(2001a)用強(qiáng)逼近的辦法給出了部分和Sn和部分和的最大值Mn(=maxk＜|Sk|)的類(lèi)似結(jié)果，同時(shí)Zhang(2001b)也討論了Chung型重對(duì)數(shù)律的精確漸近性．而用、√alogn代替n1/p，Lai(1974)及Chow和Lai(1975)獲得了類(lèi)似Baum-

5、Katz形式的結(jié)果，這里稱(chēng)之為對(duì)數(shù)律．Gut和Spǎtaru(2000a)討論了部分和的對(duì)數(shù)律的精確漸近性，他們的結(jié)果為：假設(shè)EX=0，EX2=σ2＜∞.那么對(duì)任意的0≤b≯1，linε↘0ε2b+2∞∑n=1(logn)b/nP(|Sn|≥ε√nlogn)=μ(2b+2)/b+1σ2t+2，其中μ(26+2)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的(26+2)階絕對(duì)矩. 在第一章的第二節(jié)，我們對(duì)Gut和Spǎtaxu(2000a)的對(duì)數(shù)律建立了

6、部分和以及部分和的最大值的精確漸近性成立的充要條件，同時(shí)也推廣了b的適用范圍.此外我們也得到了L2收斂和幾乎處處收斂意義下的精確漸近性成立的充要條件.矩的完全收斂性問(wèn)題首先是Chow(1988)開(kāi)始討論的，他獲得如下結(jié)論：假設(shè){X，X,；n≥1}為一i.i.d.的隨機(jī)變量序列，EX=0.若p≥1，a＞1/2，pa≥1且E{|X|p+|X|log(1+|X|)}＜∞，那么對(duì)任意ε>0，有∞∑n=1npα-2-αE{maxj≤n|Sj|-ε

7、nα}+＜∞.在第三節(jié)中，我們把第一節(jié)里的對(duì)數(shù)律和Zhang(2003a)里的對(duì)數(shù)律的精確漸近性推廣到了矩收斂的形式，獲得了矩收斂意義下精確漸近性成立的充要條件.Zhang(2003b)在EX=0，VatX2=σ2＞0且存在某個(gè)δ＞0使得E|X|2+δ<∞的條件下證得：對(duì)任意的r＞1有l(wèi)inε↗√r+1[δ-2-(r-1)]∞∑n=1nr-wP(Mn≤εσ√π2n/(8logn)+an)=4/π.其中，an=o(√n/logn).第四節(jié)

8、中，我們考慮了r=1時(shí)的Chung型對(duì)數(shù)律的精確漸近性，我們采用不同于Zhang(2003b)里的截尾方法，通過(guò)更精細(xì)的計(jì)算，在EX2(loglog|X|)b+1＜∞(b為與對(duì)數(shù)律形式有關(guān)的常數(shù))的矩條件下建立了Chung型對(duì)數(shù)律的精確漸近性，同時(shí)我們也得到了L2收斂和幾乎處處收斂意義下的精確漸近性.在第五節(jié)中，在與第四節(jié)類(lèi)似的矩條件下，我們把第四節(jié)的結(jié)論推廣到了矩收斂的情形.在第六節(jié)中，我們考慮了負(fù)相伴隨機(jī)變量序列的精確漸近性，在負(fù)相

9、伴的情形下得到了Gut和Spǎtaru(2000a)中4個(gè)定理的更一般的形式. 在第二章中，我們討論了獨(dú)立隨機(jī)變量序列的自正則極限定理.假設(shè){X，Xn，n≥1}為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，記Sn=∑nj=1Xj，V2n=∑ni=1X2i，n≥1.眾所周知，矩及其相關(guān)條件是許多經(jīng)典的極限理論成立的充分必要條件.例如，X的數(shù)學(xué)期望存在是強(qiáng)大數(shù)律成立的充要條件，EX2I{|X|≤x)(當(dāng)x→∞)是緩變函數(shù)是中心極限定理成立的充要條件.

10、另一方面，對(duì)自正則部分和Sn/Vn的研究成了當(dāng)今極限理論發(fā)展的一個(gè)熱門(mén)方向.與經(jīng)典的Hattman-wintner重對(duì)數(shù)律相比，Griffin和Kuelbs(1989)對(duì)正態(tài)吸引場(chǎng)和穩(wěn)定場(chǎng)的隨機(jī)變量序列建立了自正則重對(duì)數(shù)律.林正炎(1996)建立了自正則Chung型重對(duì)數(shù)律.邵啟滿(mǎn)(1997)在沒(méi)有矩條件的假設(shè)下，得到了自正則大偏差結(jié)果.Giné，G(o)tze和Mason(1997)證明了Sn/Vn是一致次高斯型的，當(dāng)且僅當(dāng)序列{X；