Dirichlet除數(shù)問題與Pjateckii-Sapiro素?cái)?shù)定理.pdf

1、本文研究了Dirichlet除數(shù)問題在Pjateckiǐ-(S)apiro素?cái)?shù)定理?xiàng)l件下和無k次因子數(shù)集合中的推廣. 數(shù)論中的一個(gè)著名問題就是研究除數(shù)函數(shù)d(n)的均值估計(jì)∑d(n)=xlogx+(2γ-1)x+△(x)，n≤xDirichlet首先得到了余項(xiàng)的估計(jì)△(x)《x1/2(1849).為了紀(jì)念他，人們把該問題叫做Dirichlet除數(shù)問題.后來，人們不斷改進(jìn)而得到了下面的結(jié)果：△(x)(《)x1/3logxVoron

2、oi(1904)△(x)(《)x27/82vanderCorput(1928)△(x)(《)x346/1067Kolesnik(1973)△(x)(《)x35/108log2xKolesnik(1982)△(x)(《)x23/73log315/146xHuxley(1993)△(x)(《)x131/416log26957/8320xHuxley(2003)雖然這些結(jié)果越來越好，但離預(yù)期還有一段距離一一猜想(未解決)對(duì)任意小的正數(shù)ε，有△

3、(x)(《)x1/4+ε.同樣的，人們也考慮在特定條件下的除數(shù)問題.Heath-Brown[9]，Iwanicc研究了算數(shù)序列(等差數(shù)列)中的Dirichlet除數(shù)問題：∑n≤xn=a(modq)=c1(a,q)xlogx+c2(a，q)x+E(x；a，q).設(shè)c＞0為固定實(shí)數(shù)，令πc(x)表示不超過實(shí)數(shù)x的整數(shù)n的個(gè)數(shù)，其中這些整數(shù)滿足：[nc]是一個(gè)素?cái)?shù).人們對(duì)這樣的數(shù)感興趣.Pjateckiǐ-(S)apiro[11]首先證πc(

4、x)=x/clogx(1+o(1))對(duì)0＜c＜12/11成立.其中，0＜c≤1時(shí)是素?cái)?shù)定理的顯然推論；1＜c＜12/11時(shí)是非顯然結(jié)果，不能由素?cái)?shù)定理得到.令Nc表示不超過實(shí)數(shù)x且滿足上述條件的所有整數(shù)，Balog[2]當(dāng)0＜c＜5/6時(shí)，得到了∑1p≤xp∈Nc=x/clog2x(1+o(1)).本文第一章即研究了在Pjateckiǐ-(S)apiro素?cái)?shù)定理?xiàng)l件下的Dirichlet除數(shù)問題，得到了定理1.1∑n≤xn∈Ncd(n)

5、=1/cx+1/c(2γ-1/c)x/logx+O(xe-c'√logx)，對(duì)0＜c＜4/5成立.其中，c'＞0是常數(shù).第二章研究了n是無k次因子數(shù)時(shí)的問題，得到了一般結(jié)果定理2.1∑d(n)fk(n)=Axlogx+Bx+Ek(x)，其中A，B是與κ有關(guān)的可算常數(shù)，{x1/2e-c2δ(x)，k=2；Ek(x)x1/3e-c3δ(x)，k=3；xθ，k≥4.由于κ≥4得不到很好的余項(xiàng)估計(jì)，所以本章又研究了小區(qū)間上的問題，得到定理2.2