有限域代數(shù)曲線上的碼.pdf

1、本論文共分五章，本文研究的是有限域代數(shù)曲線上的碼.第一章將呈現(xiàn)關(guān)于代數(shù)曲線和代數(shù)函數(shù)域的一些性質(zhì)，然后介紹來自有代數(shù)曲線上的碼的一些概念. 構(gòu)造具有好的參數(shù)的碼是編碼理論中最重要的問題之一，不同的工具和方法諸如代數(shù)數(shù)論、幾何、組合等方法在線性碼的構(gòu)造中被采用.自從Goppa幾何碼的發(fā)現(xiàn)以來，代數(shù)幾何就已經(jīng)被廣泛用作編碼的工具.本論文中第二章的目的是：將Xing的思想中關(guān)于改進Goppa幾何碼的參數(shù)的方法應用于具有多個有理點的Ku

2、mmer覆蓋，從而得到一些9元新碼. 進一步地，第三章中介紹一個改進Goppa結(jié)構(gòu)的代數(shù)幾何碼的最小距離下界的一種方法.我們知道聯(lián)系除子D和G的Goppa幾何碼(代數(shù)幾何碼)CL(D，G)是一個[n，k，d]碼，其參數(shù)具有：k=l(G)一l(G-D)且d≥n-degG，這里l(G)表示有限域上Riemann-Roch向量空間L(G)的維數(shù).上面的值n-degG稱為Goppa標準的碼CL(D，G)的最小距離下界.在這一章中，我們應

3、用Maharaj的思想，即用顯示基來表示Riemann-Roch空間的構(gòu)造的思想來證明：Goppa標準的代數(shù)幾何碼的最小距離下界在某些情形下是可以被顯著改進.我們用一類例子來展示怎樣導出碼的最小距離下界.第四章的目的是要得到廣義厄米特碼的廣義漢明重量.碼的廣義漢明重量是線性碼的最小距離概念的推廣，線性碼的第一級廣義漢明重量就是該線性碼的最小距離.線性碼的廣義漢明重量和重量級是由Wei首先引入的，在他的文章[60]中，他展示了線性碼的重量

4、級能表現(xiàn)碼在通過通信信道中的執(zhí)行特性.關(guān)于代數(shù)幾何碼的重量級的首先引入得歸功于Yang等人的研究[95]，在他們的文章中，主要關(guān)注的是來自有限域Fq2上的厄米特曲線的代數(shù)幾何碼的情況.在論文中，本文推廣他們的結(jié)果，去考慮來自有限域Fq2t上的、代數(shù)曲線yq+y=xqt+l上的、代數(shù)幾何碼的廣義漢明重量.本文給出了這類碼的重量級的一個上界，特別給出了在范圍qt+l+q≤m≤n-qt+l+q+1中的精確的第二級廣義漢明重量，這里的m是個制約

5、這些碼的維數(shù)的參數(shù)，n是碼長. 在最后的一章中，本文研究的是一族具有好的漸進行為的非線性碼，該線性碼來自有限域上的代數(shù)曲線.在1981年前后，Goppa發(fā)現(xiàn)了基于有限域上的、具有多個有理點的代數(shù)曲線上的、線性碼的迷人的結(jié)構(gòu)，今天，這些碼就稱之為Goppa幾何碼或代數(shù)幾何碼.Goppa結(jié)構(gòu)的幾何碼的一個令人興奮的結(jié)果就是：著名的Gilbert-Varshamov界能夠被某些合數(shù)階的有限域上的Goppa幾何碼所得到的Tsfasman

6、-Vladut-Zink界所改進，例如，在q≥49是個平方時候，Gilbert-Varshamov界就可以在一個開區(qū)間內(nèi)被顯著地改進.最近，C.P.Xing又給出了一族來自有限域代數(shù)曲線上的非線性碼，并在一個較大的區(qū)間內(nèi)改進了Tsfasman-Vladut-Zink界.基于Xing的代數(shù)曲線上的非線性碼的結(jié)構(gòu)，我們選擇一些特別的除子使得Xing的關(guān)于參數(shù)的估計能被改進.通過對除子類數(shù)、高次數(shù)懂得有理除子個數(shù)和Xing的非線性碼的參數(shù)之間