基于多項式實根分離算法的三角化方法及其應(yīng)用.pdf

1、多項式系統(tǒng)的三角化方法在多項式方程組求解和平面多項式系統(tǒng)小擾動極限環(huán)的構(gòu)造方面發(fā)揮著重要作用.吳方法是重要的三角化方法之一，即不斷施行偽除將多項式系統(tǒng)化成三角形式.本文通過適當(dāng)修改吳方法，提出帶分式的三角化方法，即對多項式系統(tǒng)不斷施行除法，允許商式和余式為分式，余式的分子作為后續(xù)多項式除法的除式或被除式，這在一定程度上限制了去分母可能引起的多項式膨脹現(xiàn)象，從而有效地減少了計算量. 多項式實根分離算法是多項式方程組的求解方法之一.

2、該算法根據(jù)根絕對值的上、下界估計，利用Role定理，Sturm序列和符號判別法則，以一系列區(qū)間形式給出實解，每一個以有理數(shù)為端點的區(qū)間正好包含一個實根.本文將在第一章引言部分對多元多項式的實根分離算法作簡要介紹. 本文第二章給出帶分式的三角化方法及其過程和算法，并分別應(yīng)用吳方法和帶分式的三角化方法對一個簡單的例子施行三角化.借助多項式實根分離算法，我們得出，若尋求一個滿足初式非零的實根，帶分式的三角化方法的效率可能較高.

3、 與吳方法不同，帶分式的三角化方法產(chǎn)生的初式相對較復(fù)雜.而多項式實根分離算法給出區(qū)間形式的解，為解決由此產(chǎn)生的復(fù)雜初式的非零判定提供了契機.本文第三章和第四章針對帶分式的三角化過程中可能產(chǎn)生的一類復(fù)雜初式，引入實數(shù)區(qū)間運算，多項式區(qū)間運算，有理函數(shù)區(qū)間運算以及區(qū)間端點的大分數(shù)(即分子，分母均為大整數(shù))處理，在多項式實根分離算法的基礎(chǔ)上，提出一種判定此類初式非零的算法.此算法的核心在于通過簡化區(qū)間端點的表示，擴大中間變量所在閉區(qū)間，使求解

4、初式所在區(qū)間的運算可行，從而判定其是否落入保號區(qū)間. 關(guān)于平面多項式系統(tǒng)小擾動極限環(huán)的構(gòu)造，需要根據(jù)不同焦點量的結(jié)構(gòu)，利用焦點量三角化之后解出主變元來實現(xiàn).當(dāng)不能解出主變元時，由焦點量構(gòu)成的多項式組進行順序三角化之后，利用多元多項式的實根分離算法得到實根分離區(qū)間，可用于構(gòu)造小擾動極限環(huán). 本文第五章分別給出次數(shù)為(6，6)和(8，5)的多項式Liénard系統(tǒng)小擾動極限環(huán)的構(gòu)造過程.通過比較，次數(shù)為(8，5)的情況相對困