一類三角多項式曲線的擴展及形狀分析

1、I 學校代碼：10406 分類號：TP391.4 學號：090070102003 南昌航空 南昌航空 南昌航空 南昌航空大學 大學 大學 大學 碩 碩 碩 碩 士 士 士 士 學 學 學 學 位 位 位 位 論 論 論 論 文 文 文 文 （學位研究生） 一類 一類 一類 一類 三角多項式曲線 三角多項式曲線 三角多項式曲線 三角多項式曲線的擴

2、展 的擴展 的擴展 的擴展 及形狀分析 及形狀分析 及形狀分析 及形狀分析 碩士研究生： 徐迎博 導 師： 喻德生 教授 申請學位級別： 碩 士 學科、專業(yè)： 計算數(shù)學 所在單位： 數(shù)學與信息科學學院 答辯日期： 2012 年 6 月 授予學位單位： 南昌航空大學 I 摘 要 三角多項式曲線的造型和形狀分析是近年來計算幾何研究的熱點問題， 它有著重要的理論意義和應用價值。 在實

3、際造型中， 經(jīng)常需要對已經(jīng)生成的曲線進行一些局部的微調(diào)， 但當控制頂點不動時， 單形狀參數(shù)的曲線在局部微調(diào)方面有很大的局限性。此外，在實際應用中，往往需要判斷曲線上有無奇拐點，并避免出現(xiàn)多余的奇點或拐點， 因此對曲線奇拐點的研究有助于在造型中有效地控制曲線的形狀。 而目前對于三角多項式曲線奇拐點的研究并不多， 并且大多采用代數(shù)方法，結(jié)果不是很直觀。為此，本文首先構(gòu)造了一類帶兩個形狀參數(shù)的三角多項式曲線及其擴展曲線，并對這兩類曲線的性質(zhì)、

4、拼接和應用進行了深入的研究；其次， 利用拓撲映射和包絡理論對類三次和類四次三角多項式 Bézier 曲線的奇拐點進行了研究。本文的主要工作如下： 第一章主要論述了三角多項式曲線的發(fā)展歷史、 研究現(xiàn)狀及其在曲線造型中的應用； 總結(jié)了曲線形狀分析的方法和它們優(yōu)缺點， 論述了曲線形狀分析的意義。此外，還簡要地介紹了一下本文研究的主要內(nèi)容。 第二章主要介紹了一類帶參的三角多項式曲線的定義、 性質(zhì)， 為后面章節(jié)的研究奠定了堅實的基礎(chǔ)。

5、第三章給出了帶兩個形狀參數(shù)的三角多項式曲線及其擴展曲線的定義和性質(zhì)， 研究了一般情況下兩段帶兩個形狀參數(shù)的類四次三角 Bézier 曲線及兩段擴展曲線的拼接問題，得到了 1 1 2 2 ( ), ( ) G C G C 光滑拼接的充要條件。同時，還討論了它們在曲線造型中的應用。 第四章研究了二次三角多項式 Bézier 曲線奇拐點有關(guān)的問題。 根據(jù)控制多邊形邊向量之間的相對位置關(guān)系， 先通過計算推理得到了空間曲線奇拐

6、點的一個結(jié)論；再利用包絡理論和拓撲映射的方法，得到了平面曲線上含有尖點、拐點和重結(jié)點以及曲線全局凸和局部凸的充要條件，并用實例進行了驗證。此外，還討論了形狀參數(shù)對uv ? 平面上形狀分區(qū)圖的影響。 第五章研究了一類控制多邊形下平面類四次三角 Bézier 曲線的奇拐點有關(guān)的問題，得到了在此類控制多邊形下，曲線出現(xiàn)奇點、拐點及為凸曲線的充要條件，給出了uv ? 平面上的形狀分區(qū)圖。此外，還討論了形狀參數(shù)對形狀分區(qū)圖的影響及對曲線