用線性信息逼近Nikolskii與Sobolev函數(shù).pdf

1、上個世紀50年代以來， Traub，Wozniakowski等人開始研究多變量函數(shù)的數(shù)值積分與逼近問題的計算復雜性，并得到了一些重要結論。本文正是在他們的研究方法指導下，概括并證明了在一些經典的多變量函數(shù)空間中逼近問題計算復雜性的結果，使其中的逼近問題復雜性研究更加完善。如經典的Holder、Sobolev等Banach空間。 并且本人也發(fā)表了關于各向異性的的Nikolskii空間與各向異性的Sobolev空間中逼近問題復雜性的

2、一些見解，給出了這些空間中逼近問題的最優(yōu)算法與誤差，并且說明這些算法的收斂速度。詳細證實了在各向異性的多變量函數(shù)空間中，一般的研究逼近問題的計算復雜性的方法也是可行的。同時說明各向同性與各向異性的Nikolskii空間與Sobolev空間在逼近問題復雜性的結論上的一致性與區(qū)別．揭示了由于各向異性的微分指標對逼近問題產生的偏差與影響．對于經典的多變量周期函數(shù)空間中的逼近問題，已經產生了許多重要研究成果。主要體現(xiàn)在逼近方法的準確性和精確性方

3、面，如三角多項式插值算法、函數(shù)空間的嵌入定理等。本文試圖在不同框架下，使得這些重要結論在研究數(shù)值問題復雜性方面得到具體的應用。如在第四章中，我們引入了Dirichlet核函數(shù)、Vallee-Poussin核函數(shù)構造線性算法，去解決各向異性周期Sobolev空間中逼近問題的上界估計，以及選取三角多項式列去構造各向異性Besov空間中逼近問題的最優(yōu)算法．其結果對多變量函數(shù)空間中逼近問題復雜性的發(fā)展起到一定的推動作用。 本文的主要研究

4、方法是利用泛函分析為主要工具，特別是函數(shù)空間的嵌入定理、Gelfand數(shù)與Г函數(shù)方法。研究的角度是在確定、隨機、平均框架下，以標準信息和線性信息為信息算子，在一定函數(shù)空間及其子空間中尋找逼近問題的最優(yōu)數(shù)值算法，證明該算法的正確性；在算法的精確性方面，主要是得到算法估計的誤差，特別是算法的第n個最小誤差，進而說明該數(shù)值算法計算效率即計算的復雜性。 另外，我們選用不同的信息類時，以比較同種算法的收斂速度，以及會對第n個最小誤差產生什

5、么的影響，進一步地揭示出逼近問題的易處理性與不易處理性．我們也比較在確定與隨機框架下，第n個最小誤差的的收斂速度會有什么樣的差別．再一次證實了第n個最小誤差的最優(yōu)收斂速度的決定因素。 此論文共有四章第一章預備知識，描述了信息計算復雜性的發(fā)展歷程和當今主流方向，并且介紹信息計算復雜性的一般理論，說明了在一定的函數(shù)空間中，在一定的信息類下，第n個最小誤差是研究逼近問題復雜性的重要手段。 第二章概括了Traub，Wozniak

6、owski,Heinrich,Novak等人的主要結果，得出了若干函數(shù)空間中逼近問題的計算復雜性，并完善了一些結果。對于Holder空間，主要得到，我們主要得到其逼近問題的復雜度為O(n-r/d)．這一章具體地介紹了經典的多變量函數(shù)空間中逼近問題復雜性的一般研究方法。 第三章主要研究各向異性非周期函數(shù)的逼近問題。介紹了各向異性的含義，構造了若干多項式算法以及Gelfand number方法，說明了在各向異性的的Nikolskii

7、空間與各向異性的Sobolev空間中也可以用類似經典空間的辦法去討論逼近問題復雜性，并給出了在兩種信息類以及確定框架下逼近問題誤差界的估計。 第四章主要研究各向異性周期函數(shù)空間的逼近問題，包括各向異性的周期Sobolev、Nikolskii、Besov空間。從新的角度構造了一些三角多項式算法來估計上界，利用bump function以及Gelfand number方法估計下界．特別對于Besov空間，選擇兩種不同的信息類，給出了