區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)畢業(yè)設計

1、<p>　　區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)</p><p>　　摘 要：在實際的應用中，經常遇到這樣的問題：為解析式子比較復雜的函數(shù)尋找一個多項式來近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最?。@就是用多項式來逼近函數(shù)問題的研究</p><p>　　本文主要討論了區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)．首先給出了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的相關結論——Weierstrass逼

2、近定理，是Weierstrass于1885年提出的，這條定理保證了閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)都能用多項式以任意給定的精度去逼近．通過引用Bernstein多項式和切比雪夫多項式給出了相應的證明．其次列出了Bernstein多項式以及由Bernstein算子推廣得到的Kantorovich算子它們的概念、一些具體的性質以及推廣和應用． 最后，引進推廣到無窮區(qū)間上的S．Bernstein多項式，進一步研究了無窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)，

3、并得到了相關結論．</p><p>　　關鍵詞： Weierstrass逼近定理；Bernstein多項式；Kantorovich算子；S．Bernstein多項式；無窮區(qū)間</p><p>　　Polynomial approximation of continuous</p><p>　　functions on the interval property<

4、;/p><p>　　Abstract：In practical applications， often encounter this problem: to find a polynomial to approximate the more complex function of the analytical formula， and requested the minimum of the error is som

5、e kind of metric significance． This is the polynomial approximation function problems．</p><p>　　This article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions． Firstly， the

6、 conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation - Weierstrass approximation theorem， is weierstrass 1885， which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed in

7、terval can use polynomials to approximate any given accuracy． Through quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof． N</p><p>　　Key words：Weierstrass approx

8、imation theorem， Bernstein polynomials; Kantorovich operator; S．Bernstein polynomial; infinite interval</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　第1章緒論1</b></p><p>　　

9、1．1 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)研究的背景1</p><p>　　1．2 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)研究的意義1</p><p>　　第2章Weierstrass逼近定理的證明及應用3</p><p>　　2．1 Weierstrass逼近定理的第一種證明3</p><p>　　2．1．1 Weierstras

10、s逼近定理的Bernstein證明3</p><p>　　2．1．2 閉區(qū)間上的weierstrass逼近定理6</p><p>　　2．2 Weierstrass逼近定理的第二種證明6</p><p>　　2．3 Weierstrass逼近定理的推廣9</p><p>　　2．3．1 Weierstrass第二定理9<

11、;/p><p>　　2．3．2 Weierstrass-Stone定理10</p><p>　　2．3．3 Weierstrass逼近定理的逆定理11</p><p>　　第3章Bernstein多項式和Kantorovich算子13</p><p>　　3．1 Bernstein多項式13</p><p>

12、;　　3．1．1 Bernstein多項式的定義13</p><p>　　3．1．2 Bernstein算子的一些性質14</p><p>　　3．2 Kantorovich算子19</p><p>　　3．2．1 Kantorovich算子的定義19</p><p>　　3．2．2 Kantorovich算子的性質20&

13、lt;/p><p>　　3．2．3 Lebesgue可積函數(shù)的Kantorovich算子逼近21</p><p>　　3．2．4 加權的Kantorovich算子22</p><p>　　第4章S．Bernstein多項式在無窮區(qū)間上的推廣25</p><p>　　4．1 無窮區(qū)間上S．Bernstein多項式的定義25</

14、p><p>　　4．2 無窮區(qū)間上S．Bernstein多項式逼近定理25</p><p>　　第5章結 論33</p><p>　　參考文獻…………………………………………………………………………………35</p><p><b>　　致 謝37</b></p><p><b&

15、gt;　　緒論</b></p><p>　　1．1 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)研究的背景</p><p>　　眾所周知，逼近的思想和方法滲透于幾乎所有的科學，其中包括自然學科和人文學科．逼近論是一門研究各類函數(shù)性質的學科，同時它又是計算數(shù)學、科學工程計算諸多數(shù)值方法（包括函數(shù)計算、數(shù)值微分、微分、積分方程數(shù)值解，曲線、曲面生成以及數(shù)據(jù)處理等等）的理論基礎和方法根據(jù)．&l

16、t;/p><p>　　函數(shù)逼近論是一門歷史悠久內容豐富而且實踐性很強的學科，是數(shù)學中最蓬勃發(fā)展的領域之一．其發(fā)展經歷了一個相當漫長的時期．早在十九世紀五十年代，人們已經對函數(shù)逼近論有了深入的研究．1859年Chebyshev提出的最佳逼近的特征定理、1885年Weierstrass所建立的關于連續(xù)函數(shù)可以用多項式逼近的著名定理，使得函數(shù)逼近成為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支．</p><p>　　但函

17、數(shù)逼近論作為一門獨立的學科得以蓬勃發(fā)展卻是上個世紀Jackson，Bernstein以及蘇聯(lián)學派的一系列深刻工作所推動的．Bernstein多項式在函數(shù)逼近論中是一個古典的工具，也是迄今為止最受人們注意的正線性算子．它在逼近論中的地位，顯然是由Bernstein收斂定理確立的．但是遺憾的是，它的收斂速度十分緩慢． 此外，由Bernstein算子變形產生了許多算子．</p><p>　　沈燮昌對函數(shù)逼近論的發(fā)展做了

18、一個較為詳盡的總結和概括，其中說函數(shù)逼近論不僅研究實變函數(shù)域多項式的逼近問題，而且還研究其他函數(shù)系諸如有理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、無理函數(shù)、逐段多項式的最佳逼近以及復數(shù)域上各種函數(shù)系的最佳逼近．</p><p>　　本文通過證明Weierstrass逼近定理，以及對Bernstein多項式和由Bernstein算子推廣得到Kantorovich算子的研究，引入S．Bernstein多項式將對連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)的研

19、究閉區(qū)間推廣到無窮區(qū)間等．</p><p>　　1．2 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)研究的意義</p><p>　　在計算機的時代，逼近論正以前所未有的速度，迅速地向前發(fā)展著．函數(shù)逼近問題是從繪圖學、機械設計等實際需要中提出來的．函數(shù)逼近理論的研究具有悠久的歷史，其研究的核心為用簡單函數(shù)來逼近一類較為復雜的函數(shù)，其中心問題是研究各類函數(shù)的光滑性與逼近程度的相互關系．</p>

20、;<p>　　多項式問題的研究是一個古老但非常有意義的問題，它在現(xiàn)代數(shù)學中占有重要地位．多項式逼近是數(shù)值分析中的最重要的方法之一，因為多項式便于計算，便于求導數(shù)，求積分．因此多項式逼近在數(shù)學分析和數(shù)值逼近理論中一直占有十分重要的位置，人們不斷從各個角度研究其逼近的方法和應用．隨著數(shù)學理論研究的深入和計算機技術的發(fā)展，由于電子計算機只能做算術運算，因此，在計算機上計算函數(shù)必須用其他簡單的函數(shù)來逼近（例如用多項式來逼近函數(shù)），

21、且用它來代替原來精確的函數(shù)計算．多項式函數(shù)由于其計算上的簡單性 ，在數(shù)值近似理論以及工程計算方面有著廣泛的應用．</p><p>　　在實際的應用中，經常遇到這樣的問題：為解析式子比較復雜的函數(shù)尋找一個多項式來近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最?。@就是用多項式來逼近函數(shù)問題的研究．在現(xiàn)實生活中，對于某些具體問題，我們可以觀察很多數(shù)據(jù)，用觀察法很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但利用多項式逼近來研究實際問題的規(guī)律，往往能簡

22、化用來擬合觀測數(shù)據(jù)的復雜函數(shù)，使得問題簡化，從而多項式逼近問題在數(shù)學領域和實際生活領域中得到廣泛的應用．因此，研究區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)，進而對其進一步研究有著十分重要的意義．</p><p>　　Weierstrass逼近定理的證明及應用</p><p>　　在一致逼近的理論中，遇到的第一個問題是:在預先給定的精度下，能否用多項式逼近任意給定的連續(xù)函數(shù)? 1985年，Weier

23、strass對這個問題給出了肯定回答．Weierstrass逼近定理是函數(shù)逼近論中的重要定理之一，該定理闡述了在預先給定的精度下，可以用多項式逼近任意給定的閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　Weierstrass逼近定理 </p><p>　　設 ，則存在多項式 ，</p><p>　　使 ．</p>

24、;<p>　　2．1 Weierstrass逼近定理的第一種證明</p><p>　　2．1．1 Weierstrass逼近定理的Bernstein證明 </p><p>　　對于這個著名的定理，有多種不同的證明方法．下面將給出Bernstein的證明．</p><p>　　定義2.1 設，的第個Bernstein多項式由下式給出:</p

25、><p>　?。?（2-1）</p><p><b>　　顯見．</b></p><p>　　引理2.1 下列恒等式成立:</p><p><b>　　(1)，</b></p><p><b>　　(2)，</b></p>

26、<p><b>　　(3)．</b></p><p>　　引理2.2 對任意給定的 及，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中求和號表示對固定的滿足不等式的求和．</p><p>　　該引理的意義在于當很大時，在和式中，起主要作用的只是滿足條件的那些值所對應的

27、項的和，而其余的項對和的值無多大影響．</p><p>　　證明： 我們從(1)知，</p><p><b>　　因此兩邊同時乘以有</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　對任意，我們有</b></p><p>&l

28、t;b>　　+．</b></p><p>　　由于在處連續(xù)，對任給，存在，使得</p><p>　　當 時，，</p><p><b>　　故第一個和式</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　又由在

29、上連續(xù)，所以存在，使得</p><p><b>　?。?</b></p><p>　　故由引理2.2，第二個和</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　因此，對任何，先取，使得</p><p>　　當 時，</p>

30、;<p>　　然后固定，再取充分大，就有．證畢． </p><p>　　注意到我們在定理的證明中，對第一個和只用到在處連續(xù)，對第二個和只用到在上有界．因此有</p><p>　　Bernstein定理 ： 設在上有界，則在任何的連續(xù)點成立．如果，則極限在上一致成立．</p><p>　　注 (1) 若有界函數(shù)在點處存在有限的二階導數(shù)，</p

31、><p><b>　　則，其中．</b></p><p>　　(2) 若在上有連續(xù)的導數(shù)，則一致收斂于．</p><p>　　(3) 設，那么在上一致地成立．</p><p>　　(4) 若，，那么，，．</p><p>　　(5) 若在上是非減的，那么在上也是非減的．</p><

32、p>　　(6) 若在上是凸的，那么在上也是凸的．</p><p>　　由以上的推論可知，一個連續(xù)函數(shù)的Bernstein多項式逼近與被逼近函數(shù)的極值和高階導數(shù)有關，并且單調的和凸的函數(shù)分別產生單調的和凸的逼近．</p><p>　　2．1．2 閉區(qū)間上的weierstrass逼近定理</p><p>　　設，則存在多項式，使得</p><

33、p>　?。?（2-2）</p><p><b>　　證明： 令，則有．</b></p><p>　　因為，所以是定義在上的連續(xù)函數(shù)，</p><p>　　于是由Weierstrass逼近定理知存在多項式，使得對于一切，有</p><p><b>　?。?lt;/b>&

34、lt;/p><p>　　也就是 ．證畢．</p><p>　　2．2 Weierstrass逼近定理的第二種證明</p><p>　　首先引入切比雪夫多項式(Chebyshev’s polynomials)的一個多項式核．</p><p>　　引理2.3 恒等式cos為真，</p><p><b&g

35、t;　　其中為某些常數(shù)．</b></p><p>　　推論2.3 當時，恒等式</p><p><b>　　成立．</b></p><p>　　定義2.2 稱多項式為次切比雪夫多項式．</p><p>　　設是次切比雪夫多項式，對任意，在 上令</p><p>　　，其中．

36、 （2-3）</p><p>　　如上定義的在定理證明中將起到多項式核的作用．它具有下列性質:</p><p>　　性質1 是次多項式，且是偶數(shù)．</p><p>　　性質2 由定義顯然有下面的恒等式．</p><p>　　性質3 對于 何，及都有．</p><p>　　證明：由第一種證明可知，我們只需證明的情

37、況即可．首先將連續(xù)開拓到上．</p><p>　　例如，我們令 顯然，在上一致連續(xù)．</p><p>　　對任意，當時，以為核構造函數(shù)</p><p>　?。?(2-4)</p><p>　　由于 是次多項式，故．所以</p><p><b>　　，</b>

38、</p><p>　　其中是常數(shù)，故而是一個次的多項式．</p><p>　　令，(2-4)就變?yōu)?lt;/p><p><b>　　(2-5)</b></p><p><b>　　由性質2，可得</b></p><p><b>　　=</b></p&g

39、t;<p><b>　　+</b></p><p><b>　　+</b></p><p><b>　　+．</b></p><p>　　將上式中最后所得三個積分依次記為．</p><p>　　由于在上一致連續(xù)，故對任意，存在．當時必有， (2-

40、6)</p><p>　　所以 ．</p><p><b>　　設，那么</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　所以

41、 ．</p><p>　　因此，對任意，先取定，使(2-6)成立，然后固定，再取充分大就有．證畢．</p><p>　　2．3 Weierstrass逼近定理的推廣</p><p>　　2．3．1 Weierstrass第二定理</p><p>　　Weierstrass逼近定理說明了可以用多項式來逼近上的連續(xù)函數(shù)，Weierstras

42、s第二定理將給出關于三角多項式和周期連續(xù)函數(shù)的一個相應的結論．</p><p>　　設，對任意，存在三角多項式，使得對于一切實數(shù)，都有．其中表示上以為周期的連續(xù)函數(shù)集合．</p><p>　　也就是說，任何具有周期的連續(xù)函數(shù)都能用三角多項式一致地逼近．</p><p>　　引理2.4 若，則對于任何，等式都成立．</p><p>　　引理2.

43、5 對任何有下面的恒等式．</p><p>　　引理2.6 對于一切實數(shù)，一致地有 ．</p><p><b>　　其中，．</b></p><p>　　要想由此推得Weierstrass第二定理，只須證明是一個三角多項式即可．為此，我們需要下列引理．</p><p>　　定義2.3 若，則稱三角多項式</p>

44、;<p>　　的階為． （2-7）</p><p>　　引理2.7 兩個三角多項式的乘積仍為一個三角多項式，且其階等于兩因子階之和．</p><p>　　引理2.8 若三角多項式為一偶函數(shù)，即，則</p><p>　　它可以表示成的形式，即式中不含倍角的正弦．</p><p>　　2．3．2 Weierstr

45、ass-Stone定理 </p><p>　　設是某個度量空間中的任意子集，它至少包含兩個不同的元素，并且在上成立有限覆蓋定理．設定義在上的實函數(shù)系組成一個線性空間，且構成一個環(huán)，這個環(huán)包含常數(shù)，且對于中任意兩個不同的元素，，在環(huán)中存在函數(shù)，使，于是對于上定義的任意一個實連續(xù)函數(shù)，對于任給，在上存在元素，使得有</p><p><b>　　．</b></p&g

46、t;<p>　　利用Stone定理可以得到很多有用的逼近定理，例如下面的有理函數(shù)逼近定理</p><p>　　設，則任給，存在有理函數(shù)， 使</p><p><b>　　，．</b></p><p>　　其中表示分子的次數(shù)不大于分母次數(shù)的全體實系數(shù)有理函數(shù)空間．</p><p>　　2．3．3 Weie

47、rstrass逼近定理的逆定理</p><p>　　Weierstrass逼近定理從正面闡述了連續(xù)函數(shù)可以用多項式來逼近的重要性質，反之，如果一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)能用多項式逼近，則該函數(shù)必然是連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　定理 在實數(shù)范圍內，對定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，如果滿足對，都存在這樣的多項式，使不等式</p><p>　　成立，那么函數(shù)必然是連續(xù)函數(shù)．&l

48、t;/p><p>　　由此，我們得到如下結論，這可以作為Weierstrass逼近定理的補充或充要條件．</p><p>　　結論1 的充分必要條件是: </p><p>　　對，都存在一個多項式使不等式 成立．</p><p>　　結論2 函數(shù)是連續(xù)函數(shù)或是與一個連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等的函數(shù)的充分必</p><p>　

49、　要條件是:對，都存在一個多項式使不等式</p><p>　　成立．這里為零測度集．</p><p>　　例1: 設函數(shù)定義在閉區(qū)間上，且在該區(qū)間上與一個連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　成立的充分必要條件是在上幾乎處處成立．</p><p>　

50、　證明： 充分性顯然，只需證明必要性．</p><p>　　由條件有，，其中是上的零測度集． 所以</p><p><b>　　0=</b></p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　因此可得，</b></p><p>　　注

51、意當時， ，所以，．證畢．</p><p><b>　　注 設函數(shù)．則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　成立的充分必要條件是: ，．</p><p>　　Bernstein多項式和Kantorovich算子</p><p>　　3．1

52、Bernstein多項式</p><p>　　3．1．1 Bernstein多項式的定義</p><p>　　Bernstein多項式在函數(shù)逼近論中是一個古典的工具，也是迄今為止最受人們注意的正線性算子．它在逼近論中的地位，顯然是由Bernstein收斂定理確立的．但是遺憾的是，它的收斂速度十分緩慢．</p><p>　　Bernstein逼近，就是利用著名的Be

53、rnstein算子:</p><p>　　對函數(shù)進行逼近，這是一類經典而豐富的研究課題，它可以追溯</p><p>　　到1912年，從那時起已有近千篇關于這一課題的論文出版．從提供計算工具的觀</p><p>　　點來看，由顯式表示出來的算子(即在計算上具有能行性的算子)一般最受歡</p><p>　　迎．Bernstein算子作為具有顯式

54、表示的正線性算子，以其結構形式的簡單優(yōu)美</p><p>　　及許多良好的性質吸引了許多人去研究推廣它．羅馬尼亞數(shù)學家D．D．Stancu是</p><p>　　研究Bernstein算子的大專家，它引進的一類廣義Bernstein算子具有豐富的概括性，由于它所構造的都是顯式表示的線性算子，所以在實際計算上都是可用的，而且也有逼近偏差的估計．此外，由Bernstein算子變形產生了許多算子

55、，諸如:</p><p>　　Szasz一Mirakjan算子: </p><p>　　BaskakoV算子: </p><p>　　Kantorovich算子: 等等．</p><p>　　設．對于任意的，定義多項式</p><p><b>　?。?-1）</b></p><

56、p>　　稱它為f的n次Bernstein多項式，這中多項式是1912年由Bernstein給出的，他并且證明了：當f在上連續(xù)時</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p><b>　　對一致地成立．</b></p><p>　　Bernstein多項式一直是函數(shù)逼近論中的重要工具和研究對象．我們討

57、論連續(xù)函數(shù)f．由Bernstein逼近定理．當n充分大時，是f的一個很好的逼近，f稱為被逼近函數(shù)．</p><p>　　3．1．2 Bernstein算子的一些性質 </p><p>　　由Bernstein形式的已知性質得</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　這就是說，在區(qū)間的兩

58、端，插值于被逼近函數(shù)f．由端點導數(shù)的性質，可以得到</p><p><b>　?。?-4） </b></p><p>　　我們從變換的觀點來看Bernstein多項式，把看成一個算子，的作用是把函數(shù)f映射成多項式．則是一個線性算子，也就是說，對定義在上的函數(shù)f與g以及任何實數(shù)與，我們有</p><p><b>　?。?lt;/b>

59、;</p><p>　　如果對成立，那么對成立，這表明是正線性算子．</p><p>　　定理3．1 如果f是上的上升（下降）函數(shù)，那么也是上的上升（下降）函數(shù)．</p><p>　　證明： 設f在上是上升的，特別地</p><p>　?。?由</p><p>　　，

60、 可得結論，證畢． </p><p>　　定理3．2 設f是上的凸函數(shù)，于是</p><p><b>　　對于，在上是凸的；</b></p><p><b>　　對及成

61、立；</b></p><p>　　如果f在上連續(xù)，那么由，可以導出f是子區(qū)間，，上的線性函數(shù)；</p><p>　　如果f在上連續(xù)，則對及成立．</p><p>　　證明: 1．由f的凸性可知</p><p>　　對成立，由此導出對成立，故 是</p><p><b>　　凸函數(shù)；</b&g

62、t;</p><p><b>　　2．由升階公式得</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　（3-5）</b></p><p><b>　　由于f在上凸，則有</b></p><p><b

63、>　　，</b></p><p><b>　　由（3-5）可得</b></p><p><b>　　，． </b></p><p>　　3．由條件和f的凸性推知</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　對成立

64、．因為f是凸函數(shù)，在子區(qū)間中，，曲線</p><p>　　應不在由與兩點所確定的直線段的上方．但</p><p>　　是（3-6）表明曲線上的點恰在這一段直線上，所以曲線必定與</p><p><b>　　這一段直線重合．</b></p><p>　　4．對于任何固定的，由已經證明的第二個結論可知:任何則</p&g

65、t;<p><b>　　，． </b></p><p>　　令，根據(jù)f的連續(xù)性以及Bernstein收斂定理得，</p><p><b>　　其中．證畢．</b></p><p>　　Bernstein多項式序列的單調下降性蘊含著其被逼近函數(shù)f的凸性． </p><p>　　定理3．3

66、 凸性逆定理（L．Kosmak）設f：有連續(xù)的二階導數(shù)并且</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　對以及成立，那么f必然是上的凸函數(shù)．</p><p>　　證明: 首先，給出均差的概念，函數(shù)f在兩點，處的一階均差定</p><p><b>　　義為</b></

67、p><p>　　． （3-8）</p><p>　　當f有一階導數(shù)時，由微分學中值定理可知：存在著與之間的一個實數(shù)使得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　f的一階均差的均差稱為二階均差：</p><p><b>　?。?lt;/b>&

68、lt;/p><p>　　當f有二階導數(shù)時，二階均差與二階導數(shù)有以下關系</p><p>　　， （3-9）</p><p>　　其中介于的最小值與最大值之間．利用均差的記號，（3-5）右邊的Bernstein</p><p><b>　　系數(shù)可以寫為</b></p>

69、<p><b>　　，</b></p><p>　　從二階均差的性質可知，有一點，以及，使得</p><p><b>　　，．</b></p><p>　　則，（3-5）可以改寫為</p><p><b>　　（3-10）</b></p><p&g

70、t;　　觀察上式可以發(fā)現(xiàn)，如果在它的右邊用來代替，那么除了一個數(shù)量因子</p><p>　　之外便是的次Bernstein多項式．這里我們指出，在n無限增</p><p>　　大至無窮的過程中，這種代替對于極限函數(shù)是沒有影響的，事實上，由于</p><p>　　對都成立，由在上的一致連續(xù)性，存在：</p><p><b>　　使得，

71、對任何，則有</b></p><p>　　， (3-11)</p><p>　　其中為任意給定的正數(shù)．因此，當時</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　將（3-10）改寫為</p><p><b>　

72、　，</b></p><p>　　上式右端的第一項將隨而趨向于，第二項趨于零．則得到</p><p>　　由于條件（3-7），由上式可得對，成立．由此可知</p><p>　　在上是非負的，因此f是凸函數(shù)． 證畢．</p><p>　　3．2 Kantorovich算子</p><p>　　3．2．1

73、Kantorovich算子的定義</p><p>　　在逼近問題中，對于不同的目標函數(shù)，采用的逼近算子也有所不同，Kantorovich算子是Bernstein算子的一種推廣．</p><p>　　在討論函數(shù)逼近問題時，所逼近的目標函數(shù)往往僅為Lebesgue可積的．這時通常采用的是Kantorovich算子．</p><p>　　設，，Kantorovich算子定

74、義為：</p><p>　　，， (3-12)</p><p><b>　　并且有</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　其中，D是微分算子，S是定積分算子，即</p><p><b>　　，．</b></p&g

75、t;<p>　　由此，可以把Bernstein算子的一些性質傳遞到Kantorovich算子．觀察Bernstein算子，可以發(fā)現(xiàn)將其中的換為區(qū)間上的值，就可以得到Kantorovich算子．</p><p>　　3．2．2 Kantorovich算子的性質</p><p>　　特別的，當時，Kantorovich算子具有如下性質：</p><p>

76、　　性質3.1 若f在上單調，則也在上單調．</p><p>　　性質3.2 為凹連續(xù)?！?】，滿足</p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　則對于一切有</b></p><p><b>　　， ．</b></p><p

77、>　　性質3.3 設，對于一切成立</p><p><b>　　，．</b></p><p><b>　　若為凹連續(xù)模，則有</b></p><p><b>　　，．</b></p><p>　　性質3.4 若f是Lipschitz函數(shù)，則對于一切，也是Lipschi

78、tz函數(shù)．</p><p>　　3．2．3 Lebesgue可積函數(shù)的Kantorovich算子逼近</p><p>　　先考慮Kantorovich算子對連續(xù)函數(shù)的逼近情況，有下面定理成立．</p><p><b>　　定理3．4 設，</b></p><p><b>　　，</b></

79、p><p>　　那么對于任意給定的，總可以找到一個充分大的，使得當時，恒有</p><p><b>　　，成立．</b></p><p>　　然而，只有當目標函數(shù)僅為Lebesgue可積時，Kantorovich算子的作用才能真正的得以發(fā)揮．</p><p>　　考慮空間 內的可測函數(shù)，即存在．對于任意的，它們之間的距離定義

80、為．</p><p>　　并且有Minkowski不等式成立</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　以及</b></p><p><b>　　，，，，</b></p><p><b>　　若，上式可化為</b

81、></p><p>　　如果，，那么，我們說強收斂于．</p><p>　　所以，對于，Kantorovich算子強收斂于．</p><p>　　定理3．5 設是緊的，對，</p><p>　　則對任意給定的，總可以找到一個充分大的，使得當時，存在上具有緊支集的連續(xù)函數(shù)，有</p><p>　　， ，． (3

82、-13)</p><p>　　3．2．4 加權的Kantorovich算子</p><p>　　在這些Kantorovich算子逼近性質的基礎上，我們可以對Kantorovich算子進行推廣，從而得到加權的Kantorovich算子．</p><p>　　函數(shù)的積分可以看成在上的平均值，而在某些情形下，考慮f的不同的平均值也是很重要的．例如考慮，這也是f的一種平均

83、，但此時在中接近于1的點與接近于0的點上，對f求平均時的分量是不同的（3為正規(guī)化常數(shù)）．這種“偏重”的平均一般用一個“權”函數(shù)</p><p>　　來描述，即f在上的加權平均為．由此，定義加權的Kantorovich算子為：</p><p>　　，， （3-14）</p><p>　　注 若，，（）為與t無關的常數(shù)，則有．</p><p>

84、;　　設（）在上有上界和下界，分別記為M和m，且，則得到下面定理．</p><p>　　定理3．6 設，如（3-14）式，那么對于任意給定的，總可以找到一個充分大的，使得當時，恒有</p><p><b>　　，，．</b></p><p><b>　　證明： </b></p><p>　　由定理3

85、．4對于任意給定的，總可以找到一個充分大的，使得當時，恒成立</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　取，則</b></p><p><b>　　．證畢．</b></p><p>　　S．Bernstein多項式在無窮區(qū)間上的推廣</p>

86、;<p>　　4．1 無窮區(qū)間上S．Bernstein多項式的定義</p><p>　　引進推廣到無窮區(qū)間上的S．Bernstein多項式的更一般的形式</p><p><b>　　（4-1）</b></p><p>　　其中是定義在上函數(shù)，為正整數(shù)． 證明了，在的任一連續(xù)點處，有</p><p>　　由

87、于（4-1）式中是任意的正整數(shù)，故可根據(jù)已知函數(shù)結構適當?shù)倪x擇，使得的S．Bernstein多項式的形式簡單．</p><p>　　4．2 無窮區(qū)間上S．Bernstein多項式逼近定理</p><p><b>　　首先介紹三個引理．</b></p><p>　　引理 4.1 設是定義在上的函數(shù)，在任一有限區(qū)間上有界， 為的連續(xù)點，則對于任意

88、的，對任一正整數(shù)存在，使得當</p><p>　　時，有；且對于任意的，當時，有</p><p><b>　　其中．</b></p><p>　　引理4.2 （，）</p><p>　　引理4.3 對，有</p><p><b>　　，．</b></p

89、><p>　　定理 4.1 設函數(shù)在上有定義 ，對每一個，在上有界，且存在正整數(shù)，使得當時，，</p><p>　　那么在的任一連續(xù)點處，有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明：當時，結論顯然成立．</p><p><b>　　當時，記，</b>&l

90、t;/p><p>　　由于當時，，于是對于固定的，當充分大時，有</p><p>　　， （為常數(shù)）</p><p><b>　　因此當充分大時，有</b></p><p>　　由收斂，于是有收斂，于是得到</p><p><b>　　故只需證明</b></p&g

91、t;<p><b>　　我們有</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　應用引理4.1和引理4.2，并采用前面的記號，選取，使得，則有</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p><b>　　對于&

92、lt;/b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　由于在點連續(xù)及引理4.1，則有</p><p><b>　　（4-5）</b></p><p>　　對于，由已知，即存在正數(shù)，使得當時，有</p><p>　　又由已知條件存在，使得對任意

93、，有，以及引理4.3，當充分大時，</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　由于以及（4-2）、（4-3）、（4-4）、(4-5)、（4-6）式得，當時，結論成立．證畢．</p><p>　　定理4.2 若在上滿足條件</p><p><b>　　，</b></p

94、><p>　　其中為常數(shù)，當時，對于一切，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　那么當時，若及，有，對成立;</p><p><b>　　若，，對成立．</b></p><p><b>　　證明：當時，</b></p>

95、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　當時，若，結論顯然成立．</p><p>　　若，應用引理4.2及已知條件</p><p>　　當時，對一切對，由上述推導有</p><p>　　所以，對于一切，

96、（）證畢．</p><p><b>　　結 論</b></p><p>　　多項式問題的研究是一個古老但非常有意義的問題，它在現(xiàn)代數(shù)學中占有重要地位． 為解析式子比較復雜的函數(shù)尋找一個多項式來近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最小，這就是用多項式來逼近函數(shù)問題的研究．多項式逼近是數(shù)值分析中的最重要的方法之一，由于多項式便于計算，便于求導數(shù)，求積分．因此多項式逼

97、近在數(shù)學分析和數(shù)值逼近理論中一直占有十分重要的位置，人們不斷從各個角度研究其逼近的方法和應用．</p><p>　　本文主要是研究區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)．首先給出了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的相關結論——Weierstrass逼近定理： </p><p>　　設，則存在多項式，使</p><p><b>　?。?</b></

98、p><p>　　該定理是Weierstrass于1885年提出的， 保證了閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)都能用多項式以任意給定的精度去逼近．通過引用Bernstein多項式</p><p><b>　　和切比雪夫多項式</b></p><p>　　分別給出了相應的證明．其次了解Bernstein多項式以及由Bernstein算子推廣得到的Kantorovi

99、ch算子</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　它們的概念、一些具體的性質以及推廣． 最后，引進推廣到無窮區(qū)間上的S．Bernstein多項式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　進一步研究了無窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)，并得到了相關結論．&l

100、t;/p><p>　　由于時間和能力的有限，對上述問題只進行了簡單的分析總結．</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 林成森 數(shù)值分析[M] 北京:科學出版社，2006．</p><p>　　[2] 裴禮文 數(shù)學分析中的典型問題與方法[M] 北京:高等教育出版社1993．<

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