完全正規(guī)化及相關(guān)問(wèn)題的研究.pdf

1、對(duì)稱(chēng)矩陣 C稱(chēng)為完全正矩陣，若存在非負(fù)矩陣 U使得 C= U U T.完全正規(guī)劃在組合優(yōu)化，數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本論文主要研究了與完全正規(guī)劃相關(guān)的若干問(wèn)題.具體內(nèi)容如下：
　　首先，我們簡(jiǎn)要介紹了完全正規(guī)劃的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，科學(xué)意義及相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí).完全正矩陣的判定問(wèn)題是 NP-難的.完全正矩陣的填充問(wèn)題更為困難，是矩陣領(lǐng)域的一個(gè)未解決的問(wèn)題.我們提出一個(gè)半定松弛等級(jí)算法，并討論了算法的性質(zhì).當(dāng)部分矩陣所有的對(duì)角元素都給

2、定時(shí)，若其不可完全正填充，算法能夠給出一個(gè)判定準(zhǔn)則;若其可完全正填充，算法可給出一個(gè)完全正填充，并給出填充矩陣的一個(gè)完全正分解.當(dāng)部分矩陣的對(duì)角元素部分給定時(shí)，算法也有類(lèi)似的性質(zhì).
　　另外，關(guān)于完全正矩陣錐內(nèi)點(diǎn)的判定也是十分困難的，現(xiàn)在仍沒(méi)有十分有效的數(shù)值算法.我們從最優(yōu)化的角度給出了完全正矩陣錐內(nèi)部的一個(gè)充要條件.同時(shí)，將完全正錐內(nèi)點(diǎn)的判定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩變量錐約束的線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，并提出了一個(gè)半定松弛等級(jí)算法.算法不但可以判定矩陣

3、是否是完全正錐的內(nèi)點(diǎn)，還能判定其是在邊界或是在外部.我們還討論了完全正矩陣錐內(nèi)點(diǎn)的Dickinson型完全正分解.
　　偏正矩陣是完全正矩陣的一個(gè)推廣.關(guān)于偏正矩陣的性質(zhì)及判定的研究工作目前依然很少.我們給出了偏正矩陣的一個(gè)等價(jià)刻畫(huà)，并提出了兩個(gè)算法來(lái)判定一個(gè)矩陣的偏正性.若矩陣是偏正的，則所提算法均能夠給出一個(gè)偏正分解.
　　在上述工作基礎(chǔ)之上，我們研究了更為復(fù)雜的最佳完全正矩陣逼近問(wèn)題.考慮一般范數(shù)下（p=1,2,⑴或

4、F),對(duì)稱(chēng)矩陣在完全正矩陣錐和線性約束交集上的最佳逼近.我們將其轉(zhuǎn)化范數(shù)錐和矩變量錐約束的線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，并構(gòu)造一個(gè)半定松弛等級(jí)來(lái)求解，同時(shí)研究了算法的有限收斂性.若原問(wèn)題不可行，則算法能夠給出一個(gè)判定準(zhǔn)則.若原問(wèn)題可行，則算法總能得到一個(gè)最佳完全正逼近矩陣，并給出所得完全正逼近矩陣的一個(gè)完全正分解.
　　我們還考慮了線性矩陣束與完全正矩陣錐之間的距離問(wèn)題.我們將其轉(zhuǎn)化為矩變量錐和二階錐約束的線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，提出了一個(gè)半定松弛等級(jí)算法

5、，并分析了算法的收斂性質(zhì).同時(shí)，還給出了一個(gè)判定完全正性的新模型.
　　最后，我們考慮了張量?jī)?yōu)化中的兩個(gè)問(wèn)題.完全正張量是完全正矩陣的推廣.完全正張量的判定是一個(gè)NP-難問(wèn)題.我們將完全正張量刻畫(huà)為一個(gè)截?cái)嗑匦蛄?，并將完全正張量的判定?wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)截?cái)嗑匦蛄惺欠裨试S一個(gè)表示測(cè)度問(wèn)題，提出一個(gè)半定算法.若給定張量不是完全正的，給出一個(gè)判定準(zhǔn)則;若是完全正的，給出它的一個(gè)非負(fù)分解.
　　張量特征值互補(bǔ)問(wèn)題也是一個(gè)NP-難問(wèn)題.我