數(shù)學(xué)中的極限思想及其應(yīng)用

1、摘要：本文對(duì)數(shù)學(xué)極限思想在解題中的應(yīng)用進(jìn)行了詮釋，詳細(xì)介紹了數(shù)學(xué)極限思想在 幾類數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用，如在數(shù)列中的應(yīng)用、在立體幾何中的應(yīng)用、在函數(shù)中的應(yīng)用、在三角函數(shù)中的應(yīng)用、在不等式中的應(yīng)用和在平面幾何中的應(yīng)用，并在例題中比 較了數(shù)學(xué)極限思想與一般解法在解題中的不同。靈活地運(yùn)用極限思想解題，可以避開抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程、降低解題難度。極限思想有利于培養(yǎng)學(xué)生從運(yùn) 動(dòng)、變化的觀點(diǎn)看待并解決問(wèn)題。關(guān)鍵詞：極限思想，應(yīng)用Abstract

2、: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid

3、 geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a

4、 common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce diffi

5、culty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords: the limit idea，application 21 緒 論極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念如函數(shù)的

6、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助極限來(lái)定義的。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可 概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。隨著高中課程的改革，高考中將加強(qiáng)對(duì)極限思想的考查，通過(guò)一些創(chuàng)新題，讓學(xué)生感受其 中蘊(yùn)含的極限思想。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有些題目雖然和極限無(wú)關(guān)，但若 運(yùn)用變化的觀

7、點(diǎn)，靈活地用極限思想來(lái)思考，往往可以降低解題難度。本文就數(shù)學(xué)極限思想在解決幾類數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用進(jìn)行了探究，用無(wú)限逼近的方式從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變。1.1 研究意義極限思想作為一種重要思想，在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位。極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。用極限思想解決問(wèn)題，往往能突破思維上的禁錮，化繁為簡(jiǎn)，拓寬

8、考慮問(wèn)題的思路，為數(shù)學(xué)問(wèn)題的順利解決提供較 大的幫助。1.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀由于數(shù)學(xué)中的極限思想對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法培養(yǎng)的重要性，因此數(shù)學(xué)極限思想的 相關(guān)問(wèn)題一直受到國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。如為了引起廣大師生對(duì)極限思想廣泛關(guān)注 和高度重視，茍玉德和董玉武在 2006 年給出了《滲透極限思想，優(yōu)化解題過(guò)程》 ，說(shuō)明了利用極限思想，把問(wèn)題放置于極限狀態(tài)，能提高解題能力；2007 年劉明遠(yuǎn)給出了 《極限思想在解題中的應(yīng)用》 ，通過(guò)列舉極限在函數(shù)、

9、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式和解析幾何中的應(yīng)用說(shuō)明極限思想對(duì)于優(yōu)化解題過(guò)程，降低解題難度的重要作用；孫道斌于 2007 年發(fā)表了《利用極限思想巧解立幾問(wèn)題》 ，列舉了極限思想在解決一些立體幾何選 擇題的范例；2005 年黃加衛(wèi)給出了《極限思想在數(shù)列中的幾個(gè)“閃光點(diǎn)” 》,認(rèn)為極限是微積分中最基本、最主要的概念，同時(shí)列舉了極限思想在解決等比數(shù)列問(wèn)題和數(shù)列 證明中的幾個(gè)范例；2007 年徐素琳給出了《極限思想的妙用》 ，認(rèn)為極限思想即運(yùn)用“化整為