矩陣的秩及其應(yīng)用

1、- 1 -矩陣的秩及其應(yīng)用 矩陣的秩及其應(yīng)用摘要： 摘要：本文主要介紹了矩陣的秩的概念及其應(yīng)用。首先是在解線性方程組中的應(yīng)用，當(dāng)矩陣的秩為 1 時(shí)求特征值；其次是在多項(xiàng)式中的應(yīng)用，最后是關(guān)于矩陣的秩在解析幾何中的應(yīng)用。對于每一點(diǎn)應(yīng)用，本文都給出了相應(yīng)的具體的實(shí)例，通過例題來加深對這部分知識的理解。關(guān)鍵詞： 關(guān)鍵詞：矩陣的秩； 線性方程組； 特征值； 多項(xiàng)式Matrix rank and its applicationAbstract:

2、This paper mainly introduces the concept of the rank of matrix and its application. First is in the application of solving linear equations, when matrixes rank 1 eigenvalue; second is the application in polynomial, final

3、ly is about matrix rank in the application of analytic geometry. For every bit of use, these articles are given the corresponding specific examples, through examples of this part of knowledge to deepen the understanding.

4、Keywords: matrix rank； linear equations；eigenvalues； polynomial引言：陣矩的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)概念，它描述了矩陣的一個(gè)數(shù)值特征。它是矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)。在判定向量組的線性相關(guān)性，線性方程組是否有解，求矩陣的特征值，在多項(xiàng)式、空間幾何中等多個(gè)方面都有廣泛的應(yīng)用。由于矩陣的秩的重要作 用和地位，需要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)。1．矩陣的秩及其求法1.1 1.1 矩陣的秩的定義 矩陣的秩的定義

5、定義 1.1.1矩陣 的行（列）向量組的秩稱為矩陣 的行（列）秩。 [1] A A定義 1.1.2矩陣的列向量組（或行向量組）的任一極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè) [2]數(shù)稱為矩陣的秩。定義 1.1.3設(shè)在矩陣 中有一個(gè)不等于零的 階子式，且所有的 子式（如果 [1] A r 1 r ?存在的話）全等于零，則稱矩陣 的秩為 ，記為 或秩 。零矩陣的 A r ? ? r A r ? ? ? A r ?秩規(guī)定為零。- 3 -零，且有一個(gè)二階子式

6、 0. 所以 , 可得 。即矩陣的秩 1 30 6 ? ? ? 2 r B ? ? ? 2 r A ?為 22 矩陣的秩的應(yīng)用2．1 矩陣的秩在解線性方程組中的應(yīng)用 矩陣的秩在解線性方程組中的應(yīng)用解線性方程組常用的方法是消元法和利用矩陣的秩。消元法多用于方程組比較簡單時(shí)。當(dāng)方程組的計(jì)算量較大時(shí)運(yùn)用矩陣的秩來求解時(shí)就顯現(xiàn)出其明顯的優(yōu)勢。引理 2.1.1如果齊次線性方程組 的系數(shù)矩陣 [1]11 1 12 2 121 1 22 2 21

7、1 2 2... 0... 0............... 0n nn ns s sn nb x b x b xb x b x b xb x b x b x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的行秩 ，那么它有非零解。11 12 121 22 21 2nns s snb b bb b b Bb b b? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ???? ? ? ??r n ?例 2.1.1 求齊次線性

8、方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系并用它表示出全部解1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 52 02 07 5 5 5 03 2 0x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解 對上面方程組的系數(shù)矩陣做初等變換可以得，由于1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 22 1

9、 1 1 1 0 5 3 3 1 0 5 3 3 11 7 5 5 5 0 9 6 6 6 0 6 9 0 03 1 2 1 1 0 5 5 2 2 0 5 1 4 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，可知 .方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)