實(shí)驗21多項式插值的振蕩現(xiàn)象

1、向宏志 向宏志 20120047（2012-10-13）實(shí)驗 實(shí)驗 2.1（多項式插值的振蕩現(xiàn)象）問題提出 問題提出：考慮一個固定的區(qū)間上用插值逼近一個函數(shù)。顯然拉格朗日插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值多項式的次數(shù)就越高。我們自然關(guān)心插值多項式的次數(shù)增加時， 是否也更加靠近被逼近的函數(shù)。龍格（Runge）給出一 ) (x Ln個例子是極著名并富有啟發(fā)性的。設(shè)區(qū)間[-1,1]上函數(shù)2 25 11 ) ( x x f ? ?實(shí)驗內(nèi)容 實(shí)驗內(nèi)容

2、：考慮區(qū)間[-1,1]的一個等距劃分，分點(diǎn)為n i ni xi , , 2 , 1 , 0 , 2 1 ? ? ? ? ?則拉格朗日插值多項式為?? ? ?niijn x l x x L02 ) ( 25 11 ) (其中的 是 n 次拉格朗日插值基函數(shù)。 n i x li , , 2 , 1 , 0 ), ( ? ?實(shí)驗要求 實(shí)驗要求：（1） 選擇不斷增大的分點(diǎn)數(shù)目 n=2,3….，畫出原函數(shù) f(x)及插值多項式函數(shù) 在[-1，1]

3、上的圖像，比較并分析實(shí)驗結(jié)果。 ) (x Ln（2）選擇其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)x x g xx x h arctan ) ( , 1 ) ( 4 ? ? ?重復(fù)上述的實(shí)驗看其結(jié)果如何。（3）區(qū)間[a,b]上切比雪夫點(diǎn)的定義為1 , , 2 , 1 , ) 1 ( 2) 1 2 ( cos 2 2 ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? n k nk a b a b xk ? ?以 為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述

4、各函數(shù)的拉格朗日插值多項式，比較其 1 2 1 , , ? n x x x ?結(jié)果,試分析原因。實(shí)驗方法： 實(shí)驗方法：考慮到：1、一幅圖中太多的曲線會相互覆蓋；2、n 取奇偶數(shù)可能結(jié)果不同；3、不同的節(jié)點(diǎn)選取方式可能導(dǎo)致不同的結(jié)果。此時，節(jié)點(diǎn)的選取也是對稱的，同樣我們也看到插值函數(shù)的圖像是對稱的；觀察結(jié)論與節(jié)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時幾乎一樣：在 0 附近的擬合性隨節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而變好；在兩端節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，誤差越大；只是由于 0 不再是節(jié)點(diǎn)，故而此時的插