對稱式和輪換對稱式的因式分解資料

1、在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式. 二元對稱式的基本對稱式是 x+y,xy 任何二元對稱多項式都可用 x+y,xy 表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用 xy,x+y 表示,再行分解. 對稱式的因式分解 在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式. 例 7 分解因式 x4+(x+

2、y)4+y4 分析 這是一個二元對稱式,二元對稱式的基本對稱式是 x+y,xy 任何二元對稱多項式都可用 x+y,xy 表示,如 x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用 xy,x+y 表示,再行分解. 解 ∵x4+y4 =(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-

3、4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 對于多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數(shù)來處理. 現(xiàn)在我們用因式定理來解例 8. 解 這是一個含有 a、b、c 三個字母的三次多項式，現(xiàn)以 a 為主元，設(shè)f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當(dāng) a=b 和 a=c 時，都有 f(a)=0

4、,故 a-b 和 a-c是多項式的因式，而視 b 為主元時，同理可知 b-c 也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設(shè) a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中 k為待定系數(shù)，令 a=0,b=1,c=-1 可得 k=-1. ∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a). 例 9 分解因式 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b). 分析