第4講 二次根式

1、第 4 講 二次根式 二次根式一、 一、 知識(shí)清單梳理 知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：二次根式 知識(shí)點(diǎn)一：二次根式 關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例 關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.有關(guān)概念（1）二次根式的概念：形如 (a≥0)的式子. a（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于 大于或等于 0.（3）最簡(jiǎn)二次根式 最簡(jiǎn)二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號(hào)） ；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式失分點(diǎn)警示：

2、 失分點(diǎn)警示：當(dāng)判斷分式、二次根式組成的復(fù)合代數(shù)式有意義的條件時(shí)，注意確保各部分都有意義，即分母不為 0，被開方數(shù)大于等于 0 等.例：若代數(shù)式 有意義，則 x 11 x ?的取值范圍是 x＞1.（1）雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即 a≥0；②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即 ≥0. a注意：初中階段學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)有：絕對(duì)值、偶冪、算式平方根、二次根式.利用二次根式的雙重非負(fù)性解題：（1）值非負(fù):當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0 時(shí)，可得各個(gè)非負(fù)數(shù)均為

3、 0.如 + 1 a ? 1 b ?=0，則 a=-1，b=1. （2）被開方數(shù)非負(fù):當(dāng)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)同時(shí)出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時(shí)，可得這一對(duì)相反數(shù)的數(shù)均為 0.如已知 b=+ ,則 a=1,b=0. 1 a ? 1 a ?2.二次根式的性質(zhì)(2)兩個(gè)重要性質(zhì)：①( )2＝a(a≥0)；② ＝|a|＝ ； a a2 ? ?? ?00a aa a? ? ? ?? ? ? ?(3)積的算術(shù)平方根： ＝ · (a≥0，b≥0

4、)； ab a b(4)商的算術(shù)平方根：(a≥0，b＞0)． ab ? ab例：計(jì)算：＝3.14； ＝2； 2 3.14 ? ?2 2 ?=；=2 ； 24 4 4 29 3 9? ?知識(shí)點(diǎn)二 知識(shí)點(diǎn)二 ：二次根式的運(yùn)算 ：二次根式的運(yùn)算3.二次根式的加減法先將各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式． 例： 例：計(jì)算： ＝ . 2 8 32 ? ? 3 24.二次根式的乘除法（1）乘法： · = (a≥0，b≥

5、0)； a b ab（2）除法：=(a≥0，b＞0)． abab注意：將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.例： 例：計(jì)算： ＝1； 4. 3 22 3 ? 32 322 2? ?5.二次根式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)） ．運(yùn)算時(shí)，注意觀察，有時(shí)運(yùn)用乘法公式會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)便.例：計(jì)算：( +1)( -1)= 1 . 2 2第 4 講 二次根式 二次根式一、 一、 知識(shí)清

6、單梳理 知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一：二次根式 知識(shí)點(diǎn)一：二次根式 關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例 關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.有關(guān)概念（1）二次根式的概念：形如 (a≥0)的式子. a（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于 大于或等于 0.（3）最簡(jiǎn)二次根式 最簡(jiǎn)二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號(hào)） ；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式失分點(diǎn)警示： 失分點(diǎn)警示：當(dāng)判斷分式、二次根式組成的復(fù)合代數(shù)式

7、有意義的條件時(shí)，注意確保各部分都有意義，即分母不為 0，被開方數(shù)大于等于 0 等.例：若代數(shù)式 有意義，則 x 11 x ?的取值范圍是 x＞1.（1）雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即 a≥0；②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即 ≥0. a注意：初中階段學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)有：絕對(duì)值、偶冪、算式平方根、二次根式.利用二次根式的雙重非負(fù)性解題：（1）值非負(fù):當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0 時(shí)，可得各個(gè)非負(fù)數(shù)均為 0.如 + 1 a ? 1 b ?=0，則 a=

8、-1，b=1. （2）被開方數(shù)非負(fù):當(dāng)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)同時(shí)出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時(shí)，可得這一對(duì)相反數(shù)的數(shù)均為 0.如已知 b=+ ,則 a=1,b=0. 1 a ? 1 a ?2.二次根式的性質(zhì)(2)兩個(gè)重要性質(zhì)：①( )2＝a(a≥0)；② ＝|a|＝ ； a a2 ? ?? ?00a aa a? ? ? ?? ? ? ?(3)積的算術(shù)平方根： ＝ · (a≥0，b≥0)； ab a b(4)商的算術(shù)平方根：(a≥0，

9、b＞0)． ab ? ab例：計(jì)算：＝3.14； ＝2； 2 3.14 ? ?2 2 ?=；=2 ； 24 4 4 29 3 9? ?知識(shí)點(diǎn)二 知識(shí)點(diǎn)二 ：二次根式的運(yùn)算 ：二次根式的運(yùn)算3.二次根式的加減法先將各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式． 例： 例：計(jì)算： ＝ . 2 8 32 ? ? 3 24.二次根式的乘除法（1）乘法： · = (a≥0，b≥0)； a b ab（2）除法：=(a≥0，b＞0