大一高數(shù)筆記

1、導(dǎo)數(shù)與極限 導(dǎo)數(shù)與極限（一）極限 （一）極限 1. 概念 概念 （1）自變量趨向于有限值的函數(shù)極限定義（ ? ? ? 定義）A x fa x ?? ) ( lim ? 0 ? ?? ， 0 ? ?? ，當(dāng) ? ? ? ? | | 0 a x 時，有 ? ? ? | ) ( | A x f 。（2）單側(cè)極限左極限： ? ? ) 0 (a f A x fa x ?? ? ) ( lim ? 0 ? ?? ， 0 ? ?? ，當(dāng) ? ?

2、? ? x a 0 時，有 ? ? ? | ) ( | A x f。右極限： ? ? ) 0 (a f A x fa x ?? ? ) ( lim ? 0 ? ?? ， 0 ? ?? ，當(dāng) ? ? ? ? a x 0 時，有 ? ? ? | ) ( | A x f。 （3）自變量趨向于無窮大的函數(shù)極限定義 1： 0 , 0 ? ? ? ? X ? ，當(dāng) X x ? ，成立 ? ? ? ? ? A x f ，則稱常數(shù) A 為函數(shù) ? ?

3、 x f 在 x 趨于無窮時的極限，記為 ? ? A x fx ?? ? lim 。A y ? 為曲線 ? ? x f y ? 的水平漸近線。定義 2： 0 0 ? ? ? ? X ， ? ，當(dāng) X x ? 時，成立 ? ? ? ? ? A x f ，則有 ? ? A x fx ??? ? lim 。定義 3： 0 0 ? ? ? ? X ， ? ，當(dāng) X x ? ? 時，成立 ? ? ? ? ? A x f ，則有 ? ? A x f

4、x ??? ? lim 。運(yùn)算法則：1) 1) 若 ? ? A x f ? lim ， ? ? ? ? x g lim ，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x g x f lim 。2) 2) 若 ? ? ? ? ? ? ? 但可為 , 0 lim A x f ， ? ? ? ? x g lim ，則 ? ? ? ? ? ? ? x g x f lim 。3) 3) 若 ? ? ? ? x

5、 f lim ，則 ? ? 0 1 lim ? x f 。注：上述記號lim 是指同一變化過程。 （4）無窮小的定義0 ? ?? ， 0 ? ?? ，當(dāng) ? ? ? ? | | 0 a x 時，有 ? ? | ) ( | x f ，則稱函數(shù) ) (x f 在 a x ? 時的無窮?。浚?，即 0 ) ( lim ?? x fa x 。（5）無窮大的定義0 ? ?M ， 0 ? ?? ，當(dāng) ? ? ? ? | | 0 a x 時，有

6、M x f ? | ) ( | ，則稱函數(shù) ) (x f 在 a x ? 時的無窮大（量） ，記為 ? ?? ) ( lim x fa x 。直線 a x ? 為曲線 ? ? x f y ? 的垂直漸近線。2．無窮小的性質(zhì) ．無窮小的性質(zhì) 定理 1 有限多個無窮小的和仍是無窮小。 定理 2 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。 推論 1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。 推論 2 有限個無窮小的乘積是無窮小。無窮小與無窮大的關(guān)系若 ? ??

7、 ) ( lim x fa x ，且 ) (x f 不取零值，則 ) (1x f 是 a x ? 時的無窮小。3．極限存在的判別法 ．極限存在的判別法（1） A x fa x ?? ) ( lim ? A a f a f ? ? ? ? ) 0 ( ) 0 ( 。（4）若以 x 作為 0 ? x 時的基本無窮小量，則當(dāng) ) ( k x O ? ? （k 為某一正數(shù)）時，稱? 是k 階無窮 小量。定理 1 ) ( ~ ? ? ? ? ?

8、 o ? ? ? 。定理 2 設(shè) ? ? ? ~ ， ? ? ? ~ ，且 ???? lim存在，則 ?????? ? lim lim。常用的等價無窮小0 ? x 時， 1 ~ ) 1 ln( ~ arctan ~ arcsin ~ tan ~ sin ~ ? ? x e x x x x x x ，221 ~ cos 1 x x ?。（二）函數(shù)的連續(xù)性 （二）函數(shù)的連續(xù)性 1．定義 ．定義若函數(shù) ) (x f y ? 在點(diǎn)a 的某個鄰

9、域內(nèi)有定義，則 ) (x f 在點(diǎn)a 處連續(xù) ? ) ( ) ( lim a f x fa x ??0 lim0 ? ? ?? ? yx 。2．連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 ．連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)； 一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。3．間斷點(diǎn) ．間斷點(diǎn) （1）間斷點(diǎn)的概念不連續(xù)的點(diǎn)即為間斷點(diǎn)。（2）間斷點(diǎn)的條件若點(diǎn) 0 x 滿足下述三個條件之一，則 0 x

10、 為間斷點(diǎn)：（a） ) (x f 在 0 x 沒有定義；（b） ) ( lim0 x fx x? 不存在；（c） ) (x f 在 0 x 有定義， ) ( lim0 x fx x? 也存在，但 ) ( ) ( lim 00 x f x fx x ?? 。（3）間斷點(diǎn)的分類：（i）第一類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn) 0 x 處左右極限存在。它又可分為下述兩類：可去間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn) 0 x 處左右極限存在且相等；跳躍間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn) 0 x 處左右極

11、限存在但不相等；（ii）第二類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn) 0 x 處的左右極限至少有一個不存在。4．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) （1）概念若函數(shù) ) (x f 在區(qū)間 ) , ( b a 上每一點(diǎn)都連續(xù)，在a 點(diǎn)右連續(xù)，在b 點(diǎn)左連續(xù)，則稱 ) (x f 在區(qū)間 ] , [ b a上連續(xù)。 （2）幾個定理最值定理：如果函數(shù) ) (x f 在閉區(qū)間 ] , [ b a 上連續(xù)，則 ) (x f 在此區(qū)間上必有最大和最小值。有界

12、性定理：如果函數(shù) ) (x f 在閉區(qū)間 ] , [ b a 上連續(xù)，則 ) (x f 在此區(qū)間上必有界。介值定理：如果函數(shù) ) (x f 在閉區(qū)間 ] , [ b a 上連續(xù)，則對介于 ) (a f 和 ) (b f 之間的任一值c ，必有] , [ b a x ??，使得 c x f ?? ) ( 。零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù) ) (x f 在閉區(qū)間 ] , [ b a 上連續(xù)，若 0 ) ( ) ( ? ? b f a f ，則必有 ) ,