數(shù)學(xué)物理方法--球函數(shù)

1、1,第十章 球函數(shù),,軸對(duì)稱球函數(shù)2.連帶勒讓德函數(shù)3.一般的球函數(shù),球函數(shù),稱為球（諧）函數(shù)，進(jìn)一步分離變量，得到：,其中： 函數(shù)滿足連帶勒讓德方程：,第九章學(xué)到，勒讓德方程通常有兩個(gè)線性獨(dú)立的級(jí)數(shù)解，通解應(yīng)當(dāng)是這兩個(gè)解的線性組合。但是這些解在x=±1處發(fā)散！為了得到物理上有意義的有限解，即滿足所謂“自然邊界條件”，從而構(gòu)成本征值問題。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于奇數(shù)和偶數(shù)次冪的級(jí)數(shù)解，只有一個(gè)能滿足自然邊界

2、條件的解，它要求?必須為整數(shù)，從而使無窮級(jí)數(shù)截?cái)酁橛邢揠A，稱作?階勒讓德多項(xiàng)式。,,第九章學(xué)到，勒讓德方程通常有兩個(gè)線性獨(dú)立的級(jí)數(shù)解，,通解應(yīng)當(dāng)是這兩個(gè)解的線性組合。但是這些解在,x=,±,1,處,發(fā)散！為了得到物理上有意義的有限解，即滿足所謂,“,自,然邊界條件,”,，從而構(gòu)成本征值問題。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于奇,數(shù)和偶數(shù)次冪的級(jí)數(shù)解，只有一個(gè)能滿足自然邊界條件的,解，它,要求,?,必須為整數(shù),，從而使無窮級(jí)數(shù)截?cái)酁橛邢?階，稱作,

3、?,階,勒讓德多項(xiàng)式,。,4,一. 勒讓德多項(xiàng)式,軸對(duì)稱球函數(shù)（m=0）,(1) 一般表達(dá)式,級(jí)數(shù)表示,約定級(jí)數(shù)中最高次冪 的系數(shù)是,反用系數(shù)遞推公式,5,微分表示,展開,再求導(dǎo)L次可得,積分表示,6,常用的勒讓德多項(xiàng)式,7,圖象,8,9,二. 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),奇偶性Pl(-x) = (-1)l Pl(x)零點(diǎn)定理L階勒讓德多項(xiàng)式為L(zhǎng)次多項(xiàng)式，有L個(gè)零點(diǎn)。正交性正交性公式模完備性完備性公式廣義傅立葉系數(shù)

4、完備性應(yīng)用例題,10,三 完備性應(yīng)用例題,例1：把函數(shù) f(x)=2x3 + 3 x + 4 用勒讓德多項(xiàng)式展開。,11,軸對(duì)稱拉普拉斯方程的求解,四 勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用,12,例 半徑為r0 的半球，球面上溫度分布為保持為 ，底面絕熱，確定半球內(nèi)空間的穩(wěn)定溫度分布 u 。,13,例4 在本來是勻強(qiáng)的靜電場(chǎng)中放置均勻介質(zhì)球，本來的電場(chǎng)強(qiáng)度是E0，球的半徑是，介電常數(shù)是?，試求介質(zhì)球內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度,分析：球內(nèi)電勢(shì)

5、 球外電勢(shì) 銜接條件,14,一. 連帶勒讓德函數(shù),10.2 連帶勒讓德函數(shù),設(shè) 帶入方程整理得:,有限,求對(duì)應(yīng)的本征函數(shù):,15,利用萊布尼茨求導(dǎo)規(guī)則把勒讓德方程求導(dǎo)m次:,所以,通常記作:,16,注意: 區(qū)分,17,,,18,,,19,二. 連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)奇偶性 正交性正交性公式模完備性完

6、備性公式廣義傅立葉系數(shù),m相同的連帶勒讓德函數(shù)是完備的,20,10.3 球函數(shù),,球函數(shù)方程,,,,,,,一. 球函數(shù),21,任取其一,,球函數(shù)方程的解為球函數(shù):,二. 球函數(shù)的性質(zhì),正交性,22,完備性,例1. 用球函數(shù)把下列函數(shù)展開,例2. 用球函數(shù)把 展開,23,三. 拉普拉斯方程的非軸對(duì)稱定解問題,拉普拉斯方程在球形區(qū)域的定解問題,如果是非軸對(duì)稱的,問題與 有關(guān)