數(shù)學(xué)物理方法11復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)

1、概述,主干基礎(chǔ)課以高數(shù)和普物為基礎(chǔ)，為后續(xù)專業(yè)課做準備承上啟下。課程的主要目的是，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述物理問題的能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，提高運算能力。課程的主要內(nèi)容有：復(fù)變函數(shù)論、積分變換及應(yīng)用、偏微分方程的定解問題、特殊函數(shù)、近似解法.,教材及指導(dǎo)書,一、教材：管平等編.《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，高等教育出版社，2010年4月 二、主要的參考書：梁昆淼編.《數(shù)學(xué)物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998年6月

2、 。胡嗣柱、倪光炯編，《數(shù)學(xué)物理方法》，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社郭敦仁編，《數(shù)學(xué)物理方法》，北京：人民教育出版社。陸全康編，《數(shù)學(xué)物理方法自學(xué)輔導(dǎo)》，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社。,要求和考核,基本要求：,1、課前預(yù)習(xí)2、按時、準時上課，不遲到、早退和缺席3、上課認真聽講，做好筆記4、課后復(fù)習(xí)，整理筆記，獨立完成作業(yè),成績組成和考試方式：,1、平時成績（出勤、聽課、作業(yè)、筆記)占20%， 考試占80%2、考試方式：

3、閉卷筆試,第一章 復(fù)變函數(shù),主要內(nèi)容:§1.1復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)§1.2復(fù)變函數(shù)的積分§1.3復(fù)變函數(shù)的級數(shù)§1.4留數(shù)及其應(yīng)用§1.5分式線性變換。,§1.1復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù),§1.1.1 復(fù)變函數(shù),z=x+iy x=Re z，y=Im z i為虛數(shù)單位，i2=-1,復(fù)數(shù)的幾何意義,一、復(fù)數(shù)的概念,復(fù)平面,復(fù)數(shù)z=x+iy,,虛軸,實軸,模,幅

4、角,,注：,復(fù)數(shù)的表示,代數(shù)表示： z=x+iy,三角表示： z=r(cosθ+isin θ),指數(shù)表示： z=r exp(i θ),復(fù)數(shù)的運算,z1=z2當且僅當Rez1= Rez2且Imz1= Imz1,注： 復(fù)數(shù)不能比較大小,復(fù)數(shù)相等,零點與無窮遠點,復(fù)平面上特殊的點:零點和無窮遠點. (1)復(fù)數(shù)零的幅角沒有定義,模為0. (2)無窮遠點的模為∞,幅角不確定. 包含“無窮遠點”的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面，該無窮遠點借助測地

5、投影法來定義。,測地投影法定義無窮遠點,二、復(fù)數(shù)的運算,,,三、 復(fù)變函數(shù),區(qū)域的基本概念,鄰域,平面上以z0為中心，δ為半徑的圓的內(nèi)部的點所組成的集合，稱為z0的δ -鄰域,|z-z0|< δ,0<|z-z0|< δ,開集,如果G內(nèi)的每一個點都是它的內(nèi)點，那么稱G為開集。,內(nèi)點,設(shè)G為一平面點集，z0為G中任意一點，如果存在z0的一個鄰域，使該鄰域的所有點都屬于G，那么稱z0為G的內(nèi)點。,區(qū)域,平面點集D稱為一個區(qū)域

6、，如果它滿足下列兩個條件：1. D是開集；2. D是連通的。,邊界點,設(shè)D為復(fù)平面上的一個區(qū)域，如果點 p不屬于D，但是在 p的任何鄰域內(nèi)都包含有D中的點，這樣的點 p稱為D的邊界點。,閉區(qū)域,區(qū)域D連同它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域，記為,邊界,D的邊界點之全體稱為D的邊界。,單連通域與多連通域,設(shè)B為復(fù)平面上的一個區(qū)域，如果在其中作一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于B ，則稱B為單連通區(qū)域，否則稱為多連通區(qū)域。,單連

7、通域,多連通域,復(fù)變函數(shù)的定義,設(shè)D是復(fù)平面上的一個區(qū)域。如果有一個確定的法則f存在，使得對于D內(nèi)的的每一個復(fù)數(shù)z，有一個或多個復(fù)數(shù)w=u+iv與之對應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為w=f(z)。,說明1,如果z的一個值對應(yīng)著唯一一個w值，那么我們稱f(z)是單值函數(shù)；如果z的一個值對應(yīng)著多個w值，那么我們稱f(z)是多值函數(shù)。值域：M={w| w=f(z),z∈D},復(fù)變函數(shù)w=f(z)可以寫成w=u(x,y)

8、+iv(x,y)，其中是z=x+iy,z平面,w平面,,復(fù)變函數(shù)舉例—基本初等函數(shù),指數(shù)函數(shù),z平面,w平面,,雙曲函數(shù),三角函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù),復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性,,設(shè) A= u0+iv0,1.1.2 解析函數(shù),一、 復(fù)變函數(shù)可微與導(dǎo)數(shù)的概念,定義1,設(shè)復(fù)變函數(shù) f 在 內(nèi)有定義,如果極限,或記為,定義,結(jié)論：可微等價于可導(dǎo)，且,若函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱在 D 內(nèi)可導(dǎo).

9、,例1. 求 ( 為正整數(shù) ) 的導(dǎo)數(shù).,解：,,1.從定義形式上看，復(fù)變函數(shù)與一元實變函數(shù) 是完全一樣的，所以實變函數(shù)論中的相關(guān)規(guī)則往往可以適用于復(fù)變函數(shù)。,2.復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)有更嚴格的要求 實變函數(shù)Δx只能沿實軸逼近0， 而復(fù)變函數(shù)Δz則可以沿任何曲線逼近于0 。,例如：,注意：,首先看Δz則沿實軸逼近于0的情形：,再看Δz沿虛軸逼近于0的情形：,定理1.1.1(可導(dǎo)的必要條件

10、),Cauchy-Riemann條件,例5,,證明：,,,,定理1.1.2 （可微的充要條件）,,,導(dǎo)數(shù)f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲線經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角.,w=f(z),,導(dǎo)數(shù)f '( z0)的模|f '( z0)|是經(jīng)過w=f(z)映射后通過z0的任何曲線在z0的伸縮率。,Z 平面,w 平面,復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義（伸縮系數(shù)與旋轉(zhuǎn)角）,解：,二、解析函數(shù)的定義,設(shè)函

11、數(shù)w=f(z)在點z0的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(z)在點z0處解析；又若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點解析，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)是解析函數(shù),說明,2. 稱函數(shù)的不解析點為奇點,1. 解析與可導(dǎo)的關(guān)系,函數(shù)在某點解析，則必在該點可導(dǎo)；反之不然,由定理9.2即得：,,,定理9.3 （判斷解析的充要條件）,解：,例7. 下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析,解:,解:,證明:,三、初等函數(shù)及性質(zhì),1. 指數(shù)函數(shù),性質(zhì)：,注意：,2.三角函數(shù),

12、性質(zhì)：,,，,，,3. 對數(shù)函數(shù),說明：,性質(zhì)：,解:,4.冪函數(shù),性質(zhì)：,解：,作 業(yè),,,,習(xí) 題 （P）,1（1）（3）（5）；2,.以z軸作實部,顏色作虛部在這個圖像中,為了把不同虛部表示出來,我們將它畫成了4個圖像,它們分別具有不同的顏色,也就是虛部的值是不同的,而實部的形狀則相同.注意,在實軸的正方向,曲面的表現(xiàn)就是我們熟悉的實數(shù)的對數(shù)函數(shù)曲線的圖像.,以z軸作虛部,顏色作實部這個圖像很像一個螺