江蘇 徐建軍 中點(diǎn)路徑長(zhǎng)的探求

1、中點(diǎn)路徑長(zhǎng)的探求中點(diǎn)路徑長(zhǎng)的探求泰興市姚王初級(jí)中學(xué)徐建軍近幾年中考中有關(guān)動(dòng)點(diǎn)新題型不斷涌現(xiàn)，而求中點(diǎn)的路徑長(zhǎng)已成為命題者的新寵。若不得其法將會(huì)無(wú)所適從，不知如何應(yīng)對(duì)。現(xiàn)以近兩年部分中考試題為例介紹解決此類問(wèn)題的一些方法，供大家參考。一、中點(diǎn)路徑為圓弧一、中點(diǎn)路徑為圓弧例1（自貢）如圖1，一根木棒（AB）長(zhǎng)為2a，斜靠在與地面（OM）垂直的墻壁（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60，當(dāng)木棒A端沿N0向下滑動(dòng)到A′，AA′=()a，B

2、端沿直線OM向右滑動(dòng)到B′，則木棒中點(diǎn)P從P1運(yùn)動(dòng)到P2所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)23為_(kāi)_____.分析與解：分析與解：由于點(diǎn)P為Rt△AOB斜邊AB的中點(diǎn)，由此聯(lián)想到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，從而有OP=a.因?yàn)辄c(diǎn)O為定點(diǎn)，所以點(diǎn)P的路徑為圓弧，所以木棒中點(diǎn)P從P1運(yùn)動(dòng)到P2所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)即為弧P1P2的長(zhǎng).在Rt△AOB中，OA=ABsin∠ABO=，∵P1為AB中點(diǎn)，∴a3P1B=P1O.∵∠ABO=60∴∠P1OB=∠P1

3、BO=60.∵AA′=()a，∴OA′=a.在Rt△A′OB′中，sin∠O232B′A′==∴∠OB′A′=45.同理可得∠P2OB′=BAOA22∠P2B′O=45.∴∠P1OP2=15.∴弧P1P2的長(zhǎng)為=.∴木棒中點(diǎn)P從P1運(yùn)動(dòng)到180a15??12a??P2所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.12a??總結(jié)：總結(jié)：若動(dòng)點(diǎn)為直角三角形斜邊的中點(diǎn)，且直角頂點(diǎn)是一定點(diǎn)，則該中點(diǎn)的路徑是圓弧.只需求出圓弧所對(duì)圓心角的度數(shù)及所在圓的半徑，即可求出圓弧長(zhǎng)即

4、中點(diǎn)的路徑長(zhǎng).二、中點(diǎn)路徑為線段二、中點(diǎn)路徑為線段例2（張家界）如圖2，已知線段AB=6，CD是AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為分析與解：分析與解：由∠EAB=∠FBA=600可聯(lián)想到等邊三角形，因而可將圖形補(bǔ)全為等邊△HAB.由于EP∥FHHE∥PF，因此四邊形HEPF為平行四邊形，所以EF與HP互相

5、平分，因而EF的中點(diǎn)G也是HP的中點(diǎn).由于點(diǎn)H為定點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D，中點(diǎn)G從G1移動(dòng)到G2.根據(jù)三角形中位線定理可得中點(diǎn)G的路徑是一條平行于CD的線段，長(zhǎng)度為CD的一半.∵G1為CH中點(diǎn)，G2為DH中點(diǎn)，∴G1G2∥CD，G1G2=CD.∵AB=6，AC=DB=1，∴CD=4.∴G1G2=2.∴G點(diǎn)移動(dòng)的21路徑長(zhǎng)度為2.MNP1P2PAOBAB圖1G2G1GHFEBDCAP圖20）作M1G⊥CA，垂足為G∵M(jìn)1G=4，M2G=