集合篩法與素?cái)?shù)三大猜想的證明

1、1集合篩法與素?cái)?shù)三大猜想的證明集合篩法與素?cái)?shù)三大猜想的證明陜西神木陜西神木史明智史明智集合篩法集合篩法一般認(rèn)為，用來制造素?cái)?shù)表的厄拉多塞篩法在理論上是沒有用處的。這種篩法雖然可以準(zhǔn)確無誤、一個(gè)不漏地找出不大于N的每個(gè)素?cái)?shù)，卻無法運(yùn)用它來推理和證明更為深刻的問題。因?yàn)樵诓淮笥贜的自然數(shù)集合中，任意一個(gè)不大于的素?cái)?shù)P的倍數(shù)之個(gè)數(shù)為[]，就是這個(gè)取整程序阻礙了推理和計(jì)NiiPN算的順利進(jìn)行。但是，這不等于說厄氏篩法所涉及的自然數(shù)、素?cái)?shù)、合數(shù)相

2、互關(guān)系的規(guī)律就無法進(jìn)一步發(fā)掘和利用。本文試圖在推理過程中突破整數(shù)限制來探究它們之間的規(guī)律，即將[]視為去推理，推理和計(jì)算過程不考慮取整，只對(duì)最終iPNiPN結(jié)果四舍五入保留整數(shù)。對(duì)于由此產(chǎn)生的誤差，在利用得出的規(guī)律解決實(shí)際問題時(shí)，根據(jù)問題本身對(duì)準(zhǔn)確程度的要求再作具體分析處理。把[]視為，就可以這樣表述：不大于N的自然數(shù)集合中，有的元iPNiPNiP1素是P的倍數(shù)，也即自然數(shù)集合元素?cái)?shù)分別與其中P的倍數(shù)集合元素?cái)?shù)之比ii為1:。我們來證明

3、如下定理。iP1定理：在不大于N的自然數(shù)集合中，每次篩去不大于的一個(gè)素?cái)?shù)的倍N數(shù)集合，每次篩剩的自然數(shù)個(gè)數(shù)與其中P倍數(shù)的個(gè)數(shù)之比與未篩前它們之間的i比保持不變，仍為1:（P不等于已篩過的素?cái)?shù)）。直至篩剩數(shù)中不再有PiP1ii的倍數(shù)。證明定理之前，先證明兩個(gè)引理。引理1：在不大于N的自然數(shù)集合中，一個(gè)不大于的素?cái)?shù)P的倍數(shù)集Nk合，或幾個(gè)不大于的素?cái)?shù)PP….的公倍數(shù)集合，其中有的元素是P的NkjiP1i3的，也就是這些集合的元素?cái)?shù)都同時(shí)縮小

4、。所以各層次各集合剩余元素?cái)?shù)2121分別與其中所含其他子集元素?cái)?shù)之比，仍保持未篩前它們之間的比值不變，即仍為1:（此時(shí)P≠2）。同理，再篩去自然數(shù)集合剩余元素中3的倍數(shù)，除iP1i全部元素都是3的倍數(shù)的子集合被整體篩去外，其他各層次各集合都被篩去自身所剩元素的，即這些集合的元素個(gè)數(shù)又同時(shí)縮小。所以，再次剩余的各3131層次各集合元素?cái)?shù)與其中所含其他子集合元素?cái)?shù)之比仍保持1:不變（此時(shí)iP1P不等于2和3）。以此類推，定理得證。i我們?cè)谧C

5、明定理的同時(shí)，也得到了求N以內(nèi)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)即π(N)的篩法，就叫集合篩法。因?yàn)楹Y去P的倍數(shù)中包括1倍即P本身，所以π(N)的漸近表達(dá)式ii要加上P的個(gè)數(shù)；又因“1”不是素?cái)?shù)，故應(yīng)減去1，即：iπ(N)～N(1)(1)(1)……(1)s111P21P31PsP1=N(1)s1(P=2P≤)??si1iP11sN如前所述，把[]視為推導(dǎo)出的π(N)的漸近表達(dá)式，必然存在誤差。iPNiPN下面，我們對(duì)誤差做一些初步的分析和討論：1.集合篩法的本質(zhì)

6、，就是在不大于N的自然數(shù)集合中按比例逐步篩去不大于的各個(gè)素?cái)?shù)的倍數(shù)，即全部合數(shù)。因?yàn)镹不可能被大多數(shù)不大于的NN素?cái)?shù)整除，所以每次得出的篩剩數(shù)大多不是整數(shù)，如果每次都取整，必然會(huì)造成累積性誤差，而且對(duì)篩剩數(shù)取整與本該對(duì)被篩數(shù)取整適得其反，最終必然導(dǎo)致完全錯(cuò)誤的結(jié)論。而計(jì)算過程不取整，分?jǐn)?shù)部分將在隨后的計(jì)算中體現(xiàn)其存在的作用。也可以這樣理解：表達(dá)式中∏(1)這部分是計(jì)算素?cái)?shù)在自然數(shù)集iP1合中所占的比值，所以不須也不能取整，與N相乘后才是