信號與線性系統(tǒng)分析第3章

1、2024/3/31,第三章 離散系統(tǒng)的時域分析,離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；離散信號的卷積和。,二、重點,離散時間系統(tǒng)的全響應(yīng)的求解；離散信號的卷積運算。,三、難點,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),一、差分與差分方程,設(shè)有序列f(k)，則…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等稱為f(k)的移位序列。仿照連續(xù)信號的微分運算，定義離散信號的差分運算。,1. 差分運

2、算,離散信號的變化率有兩種表示形式：,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),（1）一階前向差分定義：?f(k) = f(k+1) –f(k)（2）一階后向差分定義：?f(k) = f(k) –f(k –1)式中，?和?稱為差分算子，無原則區(qū)別。本書主要用后向差分，簡稱為差分。（3）差分的線性性質(zhì)： ?[af1(k) + bf2(k)] = a ?f1(k) + b ?f2(k) （4）二階差分定義： ?

3、2f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k-1)] = ?f(k) – ?f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2)（5） m階差分: ?mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m)（6） 序列f(k)求和:,因此，可定義：,,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 差分方

4、程,包含未知序列y(k)及其各階差分的方程式稱為差分方程。其一般形式可寫為,式中差分的最高階為n階，稱為n階差分方程。上述方程式也可寫成y(k)及其各移位序列的線性組合,若式中各系數(shù)均為常數(shù)，就稱為常系數(shù)差分方程；若某些系數(shù)是變量k的函數(shù)，就稱為變系數(shù)差分方程。,描述LTI離散系統(tǒng)的是常系數(shù)線性差分方程。其一般形式可寫為 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m),2024

5、/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數(shù)值解。例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3

6、y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 用迭代法求解思路清晰，便于用計算機進行計算。一般不易得到解析形式的(閉合)解。,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),二、差分方程的經(jīng)典解,n階常系數(shù)線性差分方程,其解是齊次解yh(k)與特解yp(k)之和。如果方程的特征根均為實單根λj，則其全解為,利用已

7、知的n個初始條件y(0),y(1),…,y(n-1)就可求得全部待定系數(shù)Cj。,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),1. 齊次解yh(k),齊次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0其特征方程為 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ，即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0其根λj( j = 1，2，…，n)稱為差分方

8、程的特征根。齊次解的形式取決于特征根（見P87的表3-1 ）。當特征根λ為單根時，齊次解yn(k)形式為： Cλk當特征根λ為r重根時，齊次解yn(k)形式為： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 特解yp(k) 特解的形式與激勵f(k)的形式雷同（見P87的表3-2） 。,（1） f(k)=km (m≥0） ①所有特征根

9、均不等于1時： yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0 ②有r重等于1的特征根時： yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0] （2） f(k)=ak ①當a不等于特征根時： yp(k)=Pak ②當a是r重特征根時： yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…

10、+P1k+P0)ak（3）f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不為e±jβ: yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk),2024/3/31,例：求方程的全解：描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)已知初始條件y(0)=0，y(1)= – 1；激勵f(k)=2k，k≥0。

11、,解： 特征方程為 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齊次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k特解為 yp(k)=P (2)k , k≥0代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ，解得 P=1/4所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0得全解為 y(k

12、)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始條件解得 C1=1 , C2= – ¼故全解為 y(k)= (k- ¼) (– 2)k + 2k–2 , k≥0,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),三、零輸入響應(yīng),零輸入響應(yīng)是激勵為零時，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，用yzi(k)表示。在零輸入條件下，差分方程等號右端為

13、零，化為齊次方程，即,若其特征根均為單根，則其零輸入響應(yīng),式中Czij為待定系數(shù)。一般設(shè)定激勵是在k=0時接入系統(tǒng)的，在k<0時，激勵尚未接入，故初始狀態(tài)滿足,式中y(-j)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),四、零狀態(tài)響應(yīng),,零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，僅由激勵f(k)引起的響應(yīng)，用yzs(k)表示。零狀態(tài)響應(yīng)滿足,,,的解。若其特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng)為,式中Czsj為待定系數(shù)，

14、yp(k)為特解。零狀態(tài)響應(yīng)的初始狀態(tài)yzs(-1),yzs(-2),…,yzs (-n)為零，但其初始值yzs(0),yzs(1),…,yzs (n-1)不一定為零。,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),五、全響應(yīng),零輸入響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng),自由響應(yīng),強迫響應(yīng),,,,,與連續(xù)系統(tǒng)類似，一個初始狀態(tài)不為零的LTI離散系統(tǒng)，在外加激勵作用下，其完全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。若特征根均為實單根λj，則全響應(yīng)為,,,,,

15、式中,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),如果激勵f(k)是在k=0時接入系統(tǒng)的，根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的定義有yzs(k)=0，k<0則yzi(k)=y(k)，k<0,系統(tǒng)初始狀態(tài),2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)已知激勵f(k)=2k , k≥0，初始狀態(tài)y(–1)

16、=0, y(–2)=1/2, 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,解：(1) yzi(k)滿足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0其初始狀態(tài)yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2首先遞推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(

17、–1) –2yzi(–2)= –1 , yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3方程的特征根為λ1= –1 ，λ2= – 2 ，其解為 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k 將初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2 所以 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0,2024/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),yzs(k) + 3yzs(k –

18、1) + 2yzs(k –2) = f(k) 初始狀態(tài)yzs(–1)= yzs(–2) = 0遞推求初始值 yzs(0), yzs(1)： yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(

19、–1) + 2 = – 1分別求出齊次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= – (1/3)(– 1)k+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0,（2）零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k) 滿足,202

20、4/3/31,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),y(k)= yzi(k) + yzs(k ) = (– 1)k – 2(– 2)k – (1/3)(– 1)k+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0 = (1/3)(– 1)k – (– 2)k + (1/3)2k , k≥0,（3）全響應(yīng)y(k),即

21、 y(k)= (1/3)(– 1)k – (– 2)k + (1/3)2k , k≥0,2024/3/31,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),一、單位序列和單位階躍序列,1. 單位序列,單位序列也稱為單位取樣序列或單位脈沖序列，其定義為,若將δ(k)平移i個單位，則為,則δ(k)的取樣性質(zhì) f(k)δ(k-i)=f(i)δ(k-i),2024/3/31,3

22、.2 單位序列和單位序列響應(yīng),2. 單位階躍序列,單位階躍序列定義為,若將ε(k)平移i個單位，則為,單位序列δ(k)與單位階躍序列ε(k)之間的關(guān)系為δ(k)=▽ε(k)=ε(k)-ε(k-1),2024/3/31,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),二、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),由單位序列δ(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)或單位取樣響應(yīng)，或簡稱單位響應(yīng)，記為h(k)。h(k)=T[{0},{δ(k)}],例1 已

23、知某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)求單位序列響應(yīng)h(k)。,解 根據(jù)h(k)的定義 有 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) （1） h(–1) = h(–2) = 0（1）遞推求初始值h(0)和h(1)。,1. 單位序列響應(yīng),2024/3/31,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),h(k)= h(k

24、–1) + 2h(k –2) +δ(k) h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1,(2) 求h(k)。 對于k >0， h(k)滿足齊次方程 h(k) – h(k – 1) – 2h(k – 2) = 0 其特征方程為 (λ+1) (λ – 2) = 0 所以 h(k

25、) = C1(– 1)k + C2(2)k ， k>0h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= – C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3 , C2=2/3則 h(k) = (1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k , k≥0或?qū)憺?h(k) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k] ε(k),方程（1）移項寫為,2024/3/31,3.2 單位序列響應(yīng)

26、和階躍響應(yīng),求解系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)可用求解差分方程或z變換法（第六章）。求解差分方程：由于單位序列δ(k)僅在k=0處等于1，而在k>0時為零，因而在k>0時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)與該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式相同。（1）k=0處的值h(0)可按零狀態(tài)的條件由差分方程確定；（2）k>0時，轉(zhuǎn)化為求差分方程的齊次解.,**單位序列響應(yīng)的求解**,2024/3/31,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),例2：若方程為：

27、 y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2) 求單位序列響應(yīng)h(k) 。,解 h(k)滿足 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2)令只有δ(k)作用時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k) ,它滿足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根據(jù)線性時不變性， h(k)

28、= h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2),2024/3/31,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),g(k)=T[{0},{ε(k)}],也可以利用ε(k)與δ(k)的關(guān)系來求解。由于,，δ(k) =?ε(k),所以,，h(k) =?g(k),2. 階躍響應(yīng),當LTI離散系統(tǒng)的激勵為單位階躍序列ε(k)

29、時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)或階躍響應(yīng)，用g(k)表示。,階躍序列響應(yīng)的求解可采用經(jīng)典的求解差分方程法。,2024/3/31,3.3 卷積和,3.3 卷積和,一、卷積和,1 .序列的時域分解,任意離散序列f(k) 可表示為 f(k)=…+f(-1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+ f(2)δ(k-2) + … + f(i)δ(k –i) + …,2024/3/31,3

30、.3 卷積和,2 .任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng),根據(jù)h(k)的定義：,δ(k),,h(k),由時不變性：,δ(k -i),,h(k -i),f (i)δ(k-i),由齊次性：,,f (i) h(k-i),由疊加性：,,‖,f (k),‖,yzs(k),卷積和,2024/3/31,3.3 卷積和,3 .卷積和的定義,已知定義在區(qū)間（ – ∞，∞）上的兩個函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和,為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡稱卷積；

31、記為 f(k)= f1(k)*f2(k)注意：求和是在虛設(shè)的變量 i 下進行的， i 為求和變量，k 為參變量。結(jié)果仍為k 的函數(shù)。,2024/3/31,3.3 卷積和,如果序列f1(k)是因果序列，即有k<0, f1(k)=0，則有,如果序列f2(k)是因果序列，即有k<0, f2(k)=0，則有,如果序列f1(k)和f2(k)均為因果序列，即有k<0時, f1(k)=f2(

32、k)=0則有,2024/3/31,3.3 卷積和,例：f (k) = a kε(k), h(k) = b kε(k) ，求yzs(k)。,解： yzs(k) = f (k) * h(k),當i k時，ε(k - i) = 0,ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k),2024/3/31,3.3 卷積和,4. 不進位乘法求卷積,f(k)=所有兩序列序號之和為k 的那些樣本乘積之和。如k=2時f(2)= …+f1(-1)f2

33、(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + …,例 f1(k) ={0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0} f2(k) ={0， f2(0) ， f2(1)，0},=…+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2) + … + f1(i) f2(k –i) + …,2024/

34、3/31,3.3 卷積和,f1(1) ， f1(2) ， f1(3),f2(0) ， f2(1),×——————————————————,f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0),f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1),+ —————————————————————,f1(3) f2(1),f1(2)f2(1)+ f

35、1(3)f2(0),f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0),f1(1) f2(0),,,,,f(k)={ 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 },排成乘法,2024/3/31,3.3 卷積和,例 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0}

36、 ↑k=1 f2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0,3 ， 4， 0， 6,2 ， 1 ， 5,解,×————————,15 ，20， 0， 30,3 ， 4， 0， 6,6 ，8， 0， 12,+ ————————————,6 ，11，19，32，6，30,求f(k) = f1(k)* f2(k),f(k) = {0，6

37、，11，19，32，6，30} ↑k=1,教材上還提出一種列表法，本質(zhì)是一樣的。,2024/3/31,3.3 卷積和,二、卷積的圖示,卷積過程可分解為四步：（1）換元： k換為 i→得 f1(i)， f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→ f2(–i)右移k → f2(k – i)（3）乘積： f1(i) f2(k – i) （4）求和： i 從 –∞到∞對乘積項求和。注意：k 為參變量。下面舉例說明。,

38、2024/3/31,3.3 卷積和,例：f1(k)、 f2(k)如圖所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）換元,（2） f2(i)反轉(zhuǎn)得f2(– i),（3） f2(–i)右移2得f2(2–i),（4） f1(i)乘f2(2–i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(–i ),f2(2–i),2024/3/31,3.3 卷積和,三、卷積和的性質(zhì),1. 滿足乘法的三律：,有一個序列為單

39、位序列 f(k)*δ(k) = f(k) f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0),交換律：f1(k)*f2(k)= f2(k)*f1(k)分配律：f1(k)*[f2(k)+f3(k)]= f1(k)*f2(k)+f1(k)*f3(k)結(jié)合律：[f1(k)*f2(k)]*f3(k)= f1(k)*[f2(k)*f3(k)],δ(k-k1)*δ(k-k2)=δ(k-k2)*δ(k-k1)=

40、δ(k-k1-k2)f(k-k1)*δ(k-k2)= f(k-k2)*δ(k-k1)=f(k-k1-k2),2024/3/31,3.3 卷積和,3. f(k)*ε(k) =,卷積和的時移特性： 若f(k)=f1(k)*f2(k)，則f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k2)* f2(k – k1) =

41、 f1(k – k1 – k2)* f2(k) = f(k – k1 – k2),5. ?[f1(k)* f2(k)] = ?f1(k)* f2(k) = f1(k)* ?f2(k),2024/3/31,3.3 卷積和,例1 如圖復(fù)合系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)組成，其中h1(k) = ε(k)， h2(k) = ε(k – 5)，求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)

42、h (k) 。,解 根據(jù)h(k)的定義，有,h(k)= [δ(k)* h1(k) –δ(k)* h2(k) ]* h1(k) = [h1(k) – h2(k) ]* h1(k),= h1(k) * h1(k) –h2(k) * h1(k) = ε(k)* ε(k) – ε(k – 5) *ε(k) = (k+1)ε(k) – (k+1 – 5)ε(k – 5) = (k+1)

43、ε(k) – (k– 4)ε(k – 5),2024/3/31,3.3 卷積和,例2 如圖復(fù)合系統(tǒng)由兩個子系統(tǒng)級聯(lián)組成，其中h1(k) = 2cos(kπ)， h2(k) = akε(k)，激勵f(k)= δ(k)–aδ(k-1)，求復(fù)合系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)yzs (k) 。,解,yzs (k) = f(k)* h1(k) * h2(k) = 2cos(kπ)*[akε(k)]*[δ(k)–aδ(k-1)]

44、 = 2cos(kπ)*[akε(k) - akε(k -1)] = 2cos(kπ)* δ(k) = 2cos(kπ),2024/3/31,3.4 反卷積,3.4 反卷積,給定f(k)，求h(k)，這稱為反卷積，也稱為解卷積或逆卷積。求h(k)的過程是一個遞推的過程，由h(0),h(1),…,逐步求出各時刻的h(k)值。依此規(guī)律遞推，可以求出h(k)的表達式為,上式也可以

45、由下式求得,2024/3/31,3.4 反卷積,同理可求得給定h(k)、yzs(k)求f(k)的表達式,上式也稱為反卷積。利用計算機可以方便地求得反卷積的數(shù)值解。反卷積技術(shù)常用于“系統(tǒng)識別”，以尋找系統(tǒng)模型。,2024/3/31,2。單位序列與單位序列響應(yīng)、單位階躍序列與階躍響應(yīng)。,求卷積和是本章的重點與難點。求解卷積和的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進行求和。（2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。（3）列表

46、法。（4）利用性質(zhì)。比較靈活。,1。卷積和的定義、圖示和性質(zhì)。,2。反卷積。,本章小結(jié),1。全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。,一、LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),3。齊次解與特解、自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,二、卷積和,本章小結(jié),2024/3/31,精品課件！,2024/3/31,精品課件！,2024/3/31,第三章作業(yè),P110: 3.2(2)(4); 3.3(2) ;3.4 (2) ;3.6(2)(4) P111: 3.8