導(dǎo)納矩陣的修改

1、電力系統(tǒng)分析基礎(chǔ)Power System Analysis Basis（四）,主講人：栗然,第四章 復(fù)雜電力系統(tǒng)潮流的計算機(jī)算法,基本要求：本章著重介紹運用電子計算機(jī)計算電力系統(tǒng)潮流分布的方法。它是復(fù)雜電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)運行的基礎(chǔ)。 運用計算機(jī)計算的步驟，一般包括建立數(shù)學(xué)模型，確定解算方法，制定框圖和編制程序，本章著重前兩步。,第四章 復(fù)雜電力系統(tǒng)潮流的計算機(jī)算法,2. 功率方程、節(jié)點分類及約束條件,§4.1 電

2、力網(wǎng)絡(luò)方程,電力網(wǎng)絡(luò)方程指將網(wǎng)絡(luò)的有關(guān)參數(shù)和變量及其相互關(guān)系歸納起來組成的，反映網(wǎng)絡(luò)特性的數(shù)學(xué)方程式組。如節(jié)點電壓方程、回路電流方程，割集電壓方程。相應(yīng)有：（1）節(jié)點導(dǎo)納矩陣（2）節(jié)點阻抗矩陣（3）回路阻抗矩陣,網(wǎng)絡(luò)元件：恒定參數(shù)發(fā)電機(jī)：電壓源或電流源負(fù)荷：恒定阻抗,代數(shù)方程,一、節(jié)點電壓方程,一、節(jié)點電壓方程,注意：零電位是不編號的,負(fù)荷用阻抗表示,以母線電壓作為待求量,電壓源變?yōu)殡娏髟?以零電位作為參考，根據(jù)基爾霍夫電流

3、定律,一、節(jié)點電壓方程,I2,一、節(jié)點電壓方程,其中,一、節(jié)點電壓方程,n 個獨立節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，n 個節(jié)點方程,一、節(jié)點電壓方程,n 個獨立節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，n 個節(jié)點方程,一、節(jié)點電壓方程,n 個獨立節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，n 個節(jié)點方程,Y 節(jié)點導(dǎo)納矩陣Yii 節(jié)點i的自導(dǎo)納Yij 節(jié)點i、j間的互導(dǎo)納,一、節(jié)點電壓方程,Y 矩陣元素的物理意義：,二、節(jié)點導(dǎo)納矩陣,自導(dǎo)納,Y 矩陣元素的物理意義 互導(dǎo)納,二、節(jié)點導(dǎo)納

4、矩陣,節(jié)點導(dǎo)納矩陣中自導(dǎo)納的確定,二、節(jié)點導(dǎo)納矩陣,,,節(jié)點導(dǎo)納矩陣中互導(dǎo)納的確定,二、節(jié)點導(dǎo)納矩陣,節(jié)點導(dǎo)納矩陣Y 的特點,直觀易得稀疏矩陣對稱矩陣,二、節(jié)點導(dǎo)納矩陣,三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改,不同的運行狀態(tài)，（如不同結(jié)線方式下的運行狀況、變壓器的投切或變比的調(diào)整等）,改變一個支路的參數(shù)或它的投切只影響該支路兩端節(jié)點的自導(dǎo)納和它們之間的互導(dǎo)納，因此僅需對原有的矩陣作某些修改。,Y 矩陣的修改,不同的運行狀態(tài)，（如不同結(jié)線方式下的運行

5、狀況、變壓器的投切或變比的調(diào)整等）,三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改,Y 矩陣的修改,三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改,電力網(wǎng),,,,Y 增加一行一列（n＋1）×（n＋1）,（1）從原網(wǎng)絡(luò)引出一條支路增加一個節(jié)點,Y 矩陣的修改,三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改,Y 階次不變,Y 矩陣的修改,（2）在原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i、j之間增加一條支路,三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改,Y 階次不變,（3）在原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點i、j之間切除一條支路,Y 矩陣的修改,三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改

6、,Y 矩陣的修改,（4）在原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點i、j之間的導(dǎo)納由yij改變?yōu)閥'ij,三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改,Y 矩陣的修改,（5）在原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點i、j之間變壓器的變比由k*改變?yōu)閗*',三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改,Y 矩陣的修改,（5）在原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點i、j之間變壓器的變比由k*改變?yōu)閗*',三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改,4－2 功率方程及其迭代解法,一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,1、功率方程,等值電源功率,等值負(fù)荷功率,

7、（a）簡單系統(tǒng),4－2 功率方程及其迭代解法,一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,1、功率方程,（b）簡單系統(tǒng)的等值網(wǎng)絡(luò),一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,1、功率方程,（c）注入功率和注入電流,4－2 功率方程及其迭代解法,一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,1、功率方程,4－2 功率方程及其迭代解法,一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,1、功率方程,4－2 功率方程及其迭代解法,一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,2、變量的分類,4－2 功率方程及其

8、迭代解法,一個電力系統(tǒng)有n個節(jié)點，每個節(jié)點可能有4個變量Pi,Qi ,ei, fi或Pi,Qi ,Ui, ?i,而上述功率方程只有2n個，所以需要事先給定2n個變量的值。根據(jù)各個節(jié)點的已知量的不同，將節(jié)點分成三類：PQ節(jié)點、PV 節(jié)點、平衡節(jié)點。,一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,2、變量的分類,4－2 功率方程及其迭代解法,(1)、PQ節(jié)點(Load Buses)已知Pi,Qi ，求,ei, fi（ Ui, ?i, ），負(fù)荷節(jié)點（或發(fā)

9、固定功率的發(fā)電機(jī)節(jié)點），數(shù)量最多。(2)、PV節(jié)點(Voltage Control Buses)已知Pi, Ui ，求, Qi, ?i, ，對電壓有嚴(yán)格要求的節(jié)點，如電壓中樞點.(3)、平衡節(jié)點（Slack Bus or Voltage Reference bus） 已知Ui ， ?i,，求, Pi, Qi, ，只設(shè)一個。,一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,2、變量的分類,設(shè)置平衡節(jié)點的目的,4－2 功率方程及其迭代解

10、法,在結(jié)果未出來之前，網(wǎng)損是未知的，至少需要一個節(jié)點的功率不能給定，用來平衡全網(wǎng)功率。,電壓計算需要參考節(jié)點。,一、功率方程和變量、節(jié)點的分類,3、約束條件,4－2 功率方程及其迭代解法,實際電力系統(tǒng)運行要求：電能質(zhì)量約束條件：Uimin ? Ui? Uimax電壓相角約束條件 |?ij|=| ?i - ?j | ? ?ijmax, 穩(wěn)定運行的一個重要條件。有功、無功約束條件 Pimin ? Pi? Pimax

11、 Qimin ? Qi? Qimax,二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,可改寫為：,二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,,,,,假設(shè)變量（x1, x2, ….,xn）的一組初值（

12、 ）將初值代入迭代格式,完成第一次迭代 將第一次迭代的結(jié)果作為初值，代入迭代公式，進(jìn)行第二次迭代 檢查是否滿足收斂條件：,二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,求解過程：,迭代收斂條件：,,,,同一道題可能存在多種迭代格式，有的迭代格式收斂，有的迭代式不收斂。下面討論收斂條件： 當(dāng)?shù)袷綖槎ɡ?如果

13、 則迭代格式對任意給定的初值都收斂。,4－2 功率方程及其迭代解法,[例] 已知方程組用高斯-塞德爾求解（ε<0.01）。 解：（1）將方程組改寫成迭代公式：（2）設(shè)初值 ；代入上述迭代公式,直到|x(k+1)-x(k)|< ε,4－2 功率方程及其迭代解法,二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,若式中的aij對于Yij、xi對應(yīng)Ui，yi

14、對應(yīng),4－2 功率方程及其迭代解法,二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,此時可用迭代法求解。如設(shè)節(jié)點1為平衡節(jié)點，其余為PQ節(jié)點，則有：,4－2 功率方程及其迭代解法,(1),二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,此時可用迭代法求解。如設(shè)節(jié)點1為平衡節(jié)點，其余為PQ節(jié)點，則有：,4－2 功率方程及其迭代解法,二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,此時可用迭代法求解。如設(shè)節(jié)點1為平衡

15、節(jié)點，其余為PQ節(jié)點，則有：,計算步驟為：,4－2 功率方程及其迭代解法,二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,對各類節(jié)點的計算和處理 由于節(jié)點的類型不同，已知條件和求解對象不同，約束條件不同，在計算過程中的處理不同。,（1）PQ節(jié)點：按標(biāo)準(zhǔn)迭代式直接迭代；,（2）PV節(jié)點：已知的式Pp和Up，求解的是Qp，δp；按標(biāo)準(zhǔn)迭代式算出Up (k)， δp (k)后，首先修正:,然后修正,4－2 功率方程及其

16、迭代解法,(2),二、高斯－賽德爾迭代法（既可解線性，也可解非線性方程）,對各類節(jié)點的計算和處理,檢查無功是否越限，如越限，取限值,此時：PV→PQ,4－2 功率方程及其迭代解法,(3),例題：用G-S計算潮流分布,解：網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納距陣為：,設(shè) ，代入式（1）求,修正U3為 ，再用式（2）計算：,然后開始第二次迭代：,再修正U3為：,因此，第

17、二次迭代結(jié)束時節(jié)點2的電壓為節(jié)點3的電壓相位角為δ3=2.940º,與之對應(yīng)的節(jié)點3的無功功率為Q3=0.0596.,再計算,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,原理：,按泰勒級數(shù)展開，并略去高次項,4－2 功率方程及其迭代解法,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,原理：,,,,,,,,,,4－2 功率方程及其迭代解法,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,初值不當(dāng)不

18、收斂,,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,4－2 功率方程及其迭代解法,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,4－2

19、 功率方程及其迭代解法,非線性代數(shù)方程的牛頓法迭代格式為：,三、牛頓－拉夫遜迭代法（常用于解非線性方程）,（1）將xi(0)代入，算出△f，J中各元素，代入上式方程組，解出△xi(0)；,（2）修正xi(1)＝ xi(0)＋ △xi(0) ，算出△f，J中各元素，代入上式方程組，解出△ xi(1) ；,計算步驟：,注意：xi的初值要選得接近其精確值，否則將不迭代。,4－2 功率方程及其迭代解法,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,一、潮流

20、計算時的修正方程式,節(jié)點電壓用直角坐標(biāo)表示：,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,首先對網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點作如下約定：（1）網(wǎng)絡(luò)中共有n個節(jié)點，編號為1，2，3，…，n；（2）網(wǎng)絡(luò)中（m－1）個PQ節(jié)點，一個平衡節(jié)點，編號為1，2，…，m，其中1≤s≤m為平衡節(jié)點；（3）n－m個PV節(jié)點，編號為m+1,m+2,…，n.,一、潮流計算時的修正方程式,(m-1)個PQ節(jié)點＋(n-m)個PV節(jié)點，共n-1個,(m-1

21、)個PQ節(jié)點,(n-m)個PV節(jié)點,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,(4-36a),(4-36b),(4-36c),一、潮流計算時的修正方程式,用直角坐標(biāo)表示的修正方程,,PQ節(jié)點,PV節(jié)點,,(4-37),4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,相應(yīng)的：,(4-38),4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,用直角坐標(biāo)表示的修正方程,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,一、潮流計算時的修正方

22、程式,非對角元素(i≠j),雅可比矩陣元素值,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,對角元素(i=j),雅可比矩陣元素值,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,70,雅可比矩陣的特點：,（1）雅可比矩陣各元素均是節(jié)點電壓相量的函數(shù)，在迭代過程中，各元素的值將隨著節(jié)點電壓相量的變化而變化。因此，在迭代過程中要不斷重新計算雅可比矩陣各元素的值； （2）雅可比矩陣各非對角元素均與Yij＝Gij＋jBij有關(guān)，當(dāng)Yij＝0

23、，這些非對角元素也為0，將雅可比矩陣進(jìn)行分塊，每塊矩陣元素均為2×2階子陣，分塊矩陣與節(jié)點導(dǎo)納矩陣有相同的稀疏性結(jié)構(gòu)； （3）非對稱矩陣。,71,分塊雅可比矩陣：,,,,,,,一、潮流計算時的修正方程式,以極坐標(biāo)表示:,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,以極坐標(biāo)表示的另一種修正方程式為,,PQ節(jié)點,PV節(jié)點,,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,(4-44),一、潮流計算時的修正方程式,以極坐標(biāo)表示

24、:,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,用極坐標(biāo)表示的修正方程式為,一、潮流計算時的修正方程式,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,極坐標(biāo)法系數(shù)推導(dǎo),展開式,計及,(4-47a),(4-47b),(4-48),一、潮流計算時的修正方程式,極坐標(biāo)法系數(shù)推導(dǎo),(4-49a),(4-49b),當(dāng)i≠j ，對特定的j，只有特定節(jié)點的δj，從而δij= δi- δj 是變量,對特定的j，只有該特定節(jié)點的Uj是變量,一、潮流計算時的修正方程式,,,,,

25、,,,,,極坐標(biāo)法系數(shù)推導(dǎo),,,(4-49c),(4-49d),當(dāng)i=j ，由于δi是變量，從而所有δij= δi- δj 都是變量，可得,相似地，由于Ui是變量，可得,二、潮流計算基本步驟,1. 輸入原始數(shù)據(jù)和信息：y、Pis、Qis、Uis、約束條件2. 形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣YB3. 設(shè)置各節(jié)點電壓初值ei(0), fi(0) 或Ui(0), δi(0)4. 將初始值代入(4-38)或（4-45）求不平衡量?Pi(0),

26、?Qi(0), ?Ui2(0)5. 計算雅可比矩陣各元素（Hij、Lij、Nij、Jij、Rij、Sij）6. 解修正方程(4-37) ，求? ei（k）， ? fi（k)或（4-44）求? Ui(k), ? δi(k),4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,7. 求節(jié)點電壓新值ei(k+1) =ei(k)＋? ei(k), fi(k+1) = fi(k) ＋? fi(k)或Ui(k+1)= Ui(k)＋? Ui(k), δi

27、(k+1) = δi(k)＋? δi(k+1)8.判斷是否收斂：Max| ? fi(k) |≤ε, Max| ? ei(k) |≤ε或Max| ? Ui(k |≤ε, Max| ? δi(k+1) |≤ε9.重復(fù)迭代第4、5、6、7步，直到滿足第8步的條件10. 求平衡節(jié)點的功率和PV節(jié)點的Qi及各支路的功率,二、潮流計算基本步驟,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,二、潮流計算基本步驟,4-3牛頓－拉夫遜迭代法潮流計算,牛頓-

28、拉夫遜法的缺點：牛頓-拉夫遜法的雅可比矩陣在每一次迭代過程中都有變化，需要重新形成和求解，這占據(jù)了計算的大部分時間，成為牛頓-拉夫遜法計算速度不能提高的主要原因。 P-Q分解法利用了電力系統(tǒng)的一些特有的運行特性，對牛頓-拉夫遜法做了簡化，以改進(jìn)和提高計算速度。,一、潮流計算時的修正方程式,,,(m-1)×(m-1),(n-1)×(m-1),4-4 P－Q分解法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,1、對修正方程式

29、的第一步簡化 高壓網(wǎng)絡(luò)中，各元件的X>>R，δ→P，相應(yīng)的J≈0；U →Q，N ≈0。,4-4 P－Q分解法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,2、對修正方程式的第二步簡化 高壓網(wǎng)絡(luò)中，各元件的X>>R，使Gij<<Bij，再加上系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求，即| δi－ δj|< | δi－ δj|max， | δi－ δj|max＝（10 ° ～20°）

30、。,3、對修正方程式的第三步簡化,4-4 P－Q分解法潮流計算,式(4-49a)、(4-49b)、 (4-49c)、(4-49d)可化簡為：式(4-43b) 化簡為：可得：最終：,一、潮流計算時的修正方程式,4-4 P－Q分解法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,4-4 P－Q分解法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,4-4 P－Q分解法潮流計算,一、潮流計算時的修正方程式,縮寫為,4-4 P－Q分解法潮流計算,

31、P-Q分解法的特點：,以一個n-1階和一個n-m-1階線性方程組代替原有的2n-m-1階線性方程組；修正方程的系數(shù)矩陣B’和B”為對稱常數(shù)矩陣，且在迭代過程中保持不變；P-Q分解法具有線性收斂特性，與牛頓-拉夫遜法相比，當(dāng)收斂到同樣的精度時需要的迭代次數(shù)較多；P-Q分解法一般只適用于110KV及以上電網(wǎng)的計算。因為35KV及以下電壓等級的線路r/x比值很大，不滿足上述簡化條件，可能出現(xiàn)迭代計算不收斂的情況。,一、潮流計算時的修正方

32、程式,4-4 P－Q分解法潮流計算,二、P-Q分解法的潮流計算的基本步驟,形成系數(shù)矩陣B’、B’’ ，并求其逆矩陣。,設(shè)各節(jié)點電壓的初值?I(0)(i=1,2,?,n,i?s)。UI(0)(i=1,2,?,m,i?s),按式（4－45a）計算有功不平衡量?PI(0)(i=1,2,?,n,i?s)。,解修正方程式，求各節(jié)點電壓相位的變量? ?I(0)(i=1,2,?,n,i?s),求各節(jié)點電壓相位的新值?I(1) = ?I(0) +? ?