一類行列式的界的探索

1、一類行列式的界的探索一類行列式的界的探索.doc一類行列式的界的探索.doc一類行列式的界的探索王崇(學(xué)號(hào)：B01151309)指導(dǎo)老師:林磊摘要本文確定了階數(shù)值矩陣的行列式的行列式的絕對(duì)值:的最小上界.關(guān)鍵詞階數(shù)值矩陣行列式最小上界.一、引子已知:階方陣的行列式.求證:當(dāng)時(shí).證明:對(duì)行列式的階用數(shù)學(xué)歸納法:(1)時(shí):記為中1的個(gè)數(shù)則.由于本題要求的是矩陣的行列式的絕對(duì)值且故只要考慮時(shí)的情況.時(shí)有2種情形:(i)沒(méi)有則行列式的絕對(duì)值等價(jià)

2、于:(ii)只有一個(gè)則此時(shí)等價(jià)于:.由(i)、(ii)可知:當(dāng)時(shí).而當(dāng)時(shí):.故當(dāng)時(shí)命題成立.(2)假設(shè)時(shí)命題成立即有:.當(dāng)時(shí):()即當(dāng)時(shí)命題成立.綜上由(1)(2)可得:對(duì)于任意有:成立.從以上證明可以發(fā)現(xiàn)多次運(yùn)用了放縮的方法并且放縮的幅度比較大所得的結(jié)論并非是最優(yōu)的!于是本文將就該數(shù)值矩陣的更優(yōu)解進(jìn)行探索.探索方法用觀察尋找規(guī)律法:先用計(jì)算機(jī)計(jì)算得出34567階時(shí)的行列式可能的最大值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的矩陣，然后觀察尋找出規(guī)律并證明猜想的規(guī)

3、律.二、編寫(xiě)程序并計(jì)算用計(jì)算機(jī)計(jì)算編寫(xiě)的程序的主要思想是:使用窮舉法找出每一個(gè)可能的矩陣并計(jì)算出他們的行列式的絕對(duì)值同時(shí)比較出大小并最終得到最大值.以四階為例:對(duì)方陣的每一行進(jìn)行考慮可能的情形有8種包括:[11111111111111111111111111111111]以及以上的相反.但由于取的是絕對(duì)值，故不必考慮相反時(shí)的情形.找出方陣每行的所有可能的明:由引理1及引理2知:由于存在從而由是對(duì)稱陣.這樣由定理1得:或者:那么由定理2即

4、得:.定理3:設(shè)那么:(2)證明:分兩種情況證明當(dāng)時(shí)(2)式自然成立.現(xiàn)在設(shè)再由從而這時(shí)且也即從而存在由分塊陣之逆以及上面不等式(1)有:推論1:設(shè)其中均為方陣那么:.推論2:(Hadamard定理)設(shè):那么:.即半正定陣的行列式的值不超過(guò)主對(duì)角線元之積.推論3:(Hadamard定理)設(shè).那么:.證明:這里是任意階方陣那么:.由上面推論2:.推論4:(Hadamard定理)設(shè)如果那么:.(其中表示行列式的絕對(duì)值).猜想證明:.故由推論

5、4可得:.說(shuō)明:當(dāng)且僅當(dāng)為Hadamard矩陣時(shí)等號(hào)成立此時(shí).結(jié)論:對(duì)于階矩陣有成立.參考文獻(xiàn)[1]程云鵬矩陣論[M]西北工業(yè)大學(xué)出版社2000.[2]錢(qián)吉林李照海矩陣及其廣義逆[M]華中師范大學(xué)出版社1988.[3]陳景良陳向暉特殊矩陣[M]清華大學(xué)出版社2001.[4]廉慶榮鄧健新劉秀蘭[譯]矩陣計(jì)算[M]大連理工大學(xué)出版社1988.[5]李濤賀勇軍劉志儉Matlab工具箱應(yīng)用指南應(yīng)用數(shù)學(xué)篇[M]電子工業(yè)出版社2000.[6]張宜華

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