第7章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程估計(jì)—維納濾波理論

1、138第7章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)—維納濾波理論上一章中討論了信號(hào)參量的估計(jì)。不管被估計(jì)的參量是未知的非隨機(jī)參量或是隨機(jī)參量，我們都認(rèn)定，它們?cè)谟^測(cè)時(shí)間內(nèi)是不隨時(shí)間而變化的。但是，在許多實(shí)際問(wèn)題中，例如在模擬通信、雷達(dá)跟蹤以及模式識(shí)別等情況中，涉及到的是對(duì)時(shí)變參量的估計(jì)問(wèn)題。稱之為時(shí)變信號(hào)的估計(jì)或波形估計(jì)。即：根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)（通常包括信號(hào)和噪聲）對(duì)信號(hào)的波形進(jìn)行估計(jì)。從一般意義上說(shuō)，噪聲與信號(hào)都是隨機(jī)過(guò)程。被估計(jì)的波形就是隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)。

2、因此所謂波形估計(jì)也就是隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)。在這一章中，我們將討論在相加噪聲中對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的線性最小均方估計(jì)—維納濾波理論。7.1波形估計(jì)的概念給定兩個(gè)相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，是觀測(cè)波形，通常包括信號(hào)和噪聲，而)()(tytr和)(tr則是表示信號(hào)。)(ty)()()(tntytr??波形估計(jì)要解決的問(wèn)題是，根據(jù)在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的取值，對(duì)的某種函數(shù))(21tt)(tr)(ty進(jìn)行估計(jì)。也就是說(shuō)，按照最佳估計(jì)準(zhǔn)則，對(duì)觀測(cè)量進(jìn)行某種變)(tg)()(21t

3、tr???換，以得到對(duì)的最佳估值。)(tg)(?tg線性最小均方估計(jì)具有以下特點(diǎn)：1以最小均方估計(jì)準(zhǔn)則為最佳估計(jì)準(zhǔn)則。2是的某種線性函數(shù)?，F(xiàn)在，我們只考慮以下三種情況。)(tg)(ty?稱這種情況為預(yù)測(cè)或外推。0)()(???aatytg?稱這種情況為濾波或狹義濾波。此時(shí)被估計(jì)的波形就是信號(hào)本)()(tytg?身。?稱為內(nèi)插或平滑。0)()(???aatytg把以上三種情況統(tǒng)稱為濾波（廣義濾波）。當(dāng)然，也可以是的其它線性函)(tg)(t

4、y數(shù)，下面不做專門討論。3估計(jì)值是觀測(cè)數(shù)據(jù)的線性函數(shù)。)(?tg)(tr在特殊條件下，，將這種情況下的波形估計(jì)稱之為純波形估計(jì)。下面，)()(tytr?我們將通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)討論純波形估計(jì)，用以闡明波形估計(jì)的概念。例一：考慮根據(jù)信號(hào)在時(shí)刻時(shí)的測(cè)量值對(duì)它在時(shí)的值t)(ty??t)0(??)(??ty進(jìn)行預(yù)測(cè)。我們假定，是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。根據(jù)線性估計(jì)的定義，可得到估計(jì)量與觀測(cè)量之)(ty間的關(guān)系式如下140考慮到0)()()()()()()(0

5、??????????????????yyyyyyyyyyyRRRRRRR??????????可以得到系數(shù)、如下ab（7.18）)0()(yyRRa??（7.19）)0()(yyRRb?????將上兩式的、代入式（7.16），即可得到用過(guò)程自相關(guān)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的估計(jì)量ab。)(???ty均方誤差為)()()0()()]()()([lms????yyyRbaRRtytybtaytyEC??????????例三：最后，考慮一個(gè)內(nèi)插問(wèn)題。給定

6、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)在時(shí)間間隔的起點(diǎn))(ty)0(T和終點(diǎn)的觀測(cè)值為和，要求用這兩個(gè)值來(lái)對(duì)信號(hào)在內(nèi)任意時(shí)刻的取值)0(y)(Ty)0(Tt進(jìn)行估計(jì)。)(ty這時(shí)，應(yīng)具有如下形式)(?ty（7.110）)0()()0()(?TtTbyayty???按照正交條件0)()]()0()([0)0()]()0()([??????TyTbyaytyEyTbyaytyE可以得到以下兩個(gè)方程（7.111）)()()0(tRTbRaRyyy??及（7.112）)