數(shù)學(xué)史：從象牙塔.講義

1、1,數(shù)學(xué)史：從象牙塔到小學(xué)課堂,江蘇啟東市教育局教研室 蔡宏圣博客：caihongsheng.blog.ntjy.net,2,話題的背景,在很多小學(xué)老師的視界中，數(shù)學(xué)教育缺失了一只眼睛。例數(shù)學(xué)史的運(yùn)用在當(dāng)下的課堂是種時(shí)尚。時(shí)尚中的缺憾： 愛(ài)國(guó)主義 標(biāo)簽 學(xué)生感受 例,3,“三角形的認(rèn)識(shí)”中的教學(xué)意外,,4,,,5,思 辨,數(shù)學(xué)史的運(yùn)用是為了數(shù)學(xué)史的教學(xué)還是為了數(shù)學(xué)的教學(xué)？數(shù)學(xué)史的運(yùn)用是外在于課堂教學(xué)要素還是內(nèi)化于課堂

2、教學(xué)要素？,6,數(shù)學(xué)史內(nèi)化于課堂要素,教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容是不可缺失的課堂教學(xué)三個(gè)基本要素。之于教師，數(shù)學(xué)史是調(diào)適數(shù)學(xué)觀念的重要基礎(chǔ)之于學(xué)生，數(shù)學(xué)史是把握思維歷程的獨(dú)特視角之于教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)史是厘清數(shù)學(xué)本質(zhì)的厚實(shí)背景,7,對(duì)數(shù)學(xué)的理解不同教學(xué)方式也不同,,8,,,9,數(shù)學(xué)本質(zhì)對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的影響,英國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家斯根普說(shuō)，“我先前總認(rèn)為數(shù)學(xué)教師都是在教同樣的學(xué)科，只是一些人比另一些人教得好而已。但我現(xiàn)在認(rèn)為在‘?dāng)?shù)學(xué)’這同一個(gè)名詞下

3、所教的事實(shí)上是兩個(gè)不同的學(xué)科?！?10,現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查,說(shuō)起數(shù)學(xué)，你腦海中浮現(xiàn)下面哪些詞？ 抽象 嚴(yán)謹(jǐn) 生活常識(shí) 直觀 具體 枯燥 符號(hào) 形式化 邏輯 證明 計(jì)算 有趣 猜測(cè) 錯(cuò)誤 準(zhǔn)確,11,數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀,數(shù)學(xué)教師更傾向于把數(shù)學(xué)看成一個(gè)與邏輯有關(guān)的、有嚴(yán)謹(jǐn)體系的、關(guān)于圖形和數(shù)量的精確

4、運(yùn)算的一門學(xué)科。（香港學(xué)者 黃毅英）教師的數(shù)學(xué)觀源自自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。,12,抽象和嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的本來(lái)面目嗎？,十進(jìn)制與十指坐標(biāo)與蜘蛛克拉與種子正負(fù)數(shù)與顏色各種符號(hào)的意義（自然和方便為上）等號(hào) 字母……,,13,,等號(hào)的產(chǎn)生和方程有關(guān)。15世紀(jì)就有人用水平的破折號(hào)“——”表示等號(hào)。公元1557年，英國(guó)御醫(yī)、牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授雷科德首先將一條破折號(hào)上平行地添加一條，放兩條平行線，同樣長(zhǎng)的一對(duì)雙生子“=”表示相等，任何兩

5、件東西，不可能比它們更相等了。,,14,,米 metre m千米 kilometre km分米 decimetre dm厘米 centimetre cm毫米 millimetre mm噸 ton t克 gram g千克 kilogram kg,,15,抽象和

6、嚴(yán)謹(jǐn)是公理化的要求,數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)只是一門數(shù)學(xué)分支成熟立說(shuō)時(shí)的“外衣”。數(shù)學(xué)在其誕生之初，充滿著濃郁的生活常識(shí)的痕跡，認(rèn)識(shí)過(guò)程充滿了曲折、猜測(cè)、直觀，乃至錯(cuò)誤和不可思議。一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)最原始的部分，既不神秘也不嚴(yán)謹(jǐn)，沒(méi)有一點(diǎn)形式邏輯的印記，認(rèn)識(shí)的提升恰恰帶有濃重的按照生活事理邏輯自然衍生的痕跡。,16,數(shù)學(xué)兩重性對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示,數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式性和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)性 一個(gè)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在在數(shù)學(xué)的具體源頭和抽象形式之間來(lái)回穿行，關(guān)注兒童們生

7、活經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)，尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯源頭，領(lǐng)悟其間的數(shù)學(xué)過(guò)程和思想方法，由此，組織的數(shù)學(xué)教學(xué)可以順應(yīng)著生活事理的邏輯走向，孩子們的學(xué)習(xí)可以像呼吸一樣自然和樸素。,17,案例：乘法的初步認(rèn)識(shí),18,總結(jié)一,一個(gè)認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)史的教師，就可以自我調(diào)適建立在經(jīng)驗(yàn)層面上零散的、片面的數(shù)學(xué)觀念，雖然形成的先進(jìn)數(shù)學(xué)觀念也不系統(tǒng)，但在某一方面能更切合數(shù)學(xué)發(fā)展的本來(lái)面目。數(shù)學(xué)史起碼提供了這樣的視角，讓我們看到了數(shù)學(xué)的深刻和抽象實(shí)際上孕育在具體和直觀中，也許在

8、課堂中我們看不到顯性的、事實(shí)性的數(shù)學(xué)史實(shí)，但卻能影響著一個(gè)教師的數(shù)學(xué)教育思想-----努力用淺顯的情境去凸顯數(shù)學(xué)思想的深刻內(nèi)涵，使得數(shù)學(xué)教育具體中見(jiàn)深邃，淺顯中見(jiàn)厚重，使得教學(xué)能煥發(fā)出思想的光芒、經(jīng)典的力量。,19,讀懂兒童是教育促進(jìn)發(fā)展的前提,就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，讀懂兒童不是泛化意義上追求對(duì)兒童的理解，而應(yīng)突出地表現(xiàn)為細(xì)膩地、科學(xué)地對(duì)兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維活動(dòng)做深入的了解和分析，大致把握兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難。 匈牙利著名數(shù)學(xué)家和

9、數(shù)學(xué)教育家波利亞：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)作出更好的判斷。”,20,案例：認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù),中國(guó)是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國(guó)家。據(jù)早在2000多年前的《九章算術(shù)》記載，那時(shí)的人就有了“糧食入倉(cāng)為正，出倉(cāng)為負(fù)；收入的錢為正，付出的錢為負(fù)”的思想。1700多年前，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時(shí)，更明確地提出了正負(fù)數(shù)的概念，并用不同顏色的算籌來(lái)表示它們。這些認(rèn)識(shí)中國(guó)比印度要早600多年，比

10、西方國(guó)家要提前1500多年。,21,基于數(shù)學(xué)史實(shí)的追問(wèn),現(xiàn)在看似理所當(dāng)然的事情，在最初認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的時(shí)候，有哪些困難？難，難在哪里？使用負(fù)數(shù)到接納負(fù)數(shù)，那是兩個(gè)不同的認(rèn)識(shí)階段。那接納負(fù)數(shù)，意味著在理性認(rèn)識(shí)上要建構(gòu)起哪些認(rèn)識(shí)？生活中相反意義的量，一個(gè)用正數(shù)表示，一個(gè)就用負(fù)數(shù)表示，怎樣讓孩子們認(rèn)識(shí)到0在其中的重要作用？在歷史上，數(shù)學(xué)家們?cè)谡J(rèn)識(shí)的提升中遇到了什么困難？他們的困難對(duì)于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有無(wú)借鑒意義？,22,“荒謬”的負(fù)數(shù),在數(shù)學(xué)史

11、上，把負(fù)數(shù)稱為“荒謬的數(shù)”、“虛假的數(shù)”的人不在少數(shù)，其中不乏當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家。 （不能指物為數(shù)）德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在《整數(shù)算術(shù)》中稱從零中減去一個(gè)大于零的數(shù)，得到的數(shù)“小于一無(wú)所有”，是“荒謬的數(shù)”。 1表示一件物體，2表示兩件物體……，0表示什么都沒(méi)有，“什么都沒(méi)有”就到了盡頭了，而負(fù)數(shù)比零還要小，比“什么都沒(méi)有”還要少，這怎么可能呢？,23,“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”教學(xué)的重構(gòu),重構(gòu)“0”的意義，和已有認(rèn)識(shí)的實(shí)現(xiàn)融通，才賦予了負(fù)數(shù)的理性意義

12、。,24,總結(jié)二,人類完成了一次認(rèn)識(shí)的跨越之后，回顧頭來(lái)看往往認(rèn)為那是理所當(dāng)然的事情，因此，作為教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生在初次學(xué)習(xí)中的學(xué)習(xí)障礙就有難度，而歷史上數(shù)學(xué)家們?cè)诋?dāng)初認(rèn)識(shí)提升的過(guò)程中，留下的困惑和挫折卻為我們了解此問(wèn)題提供了獨(dú)特的不可替代的視角。關(guān)注數(shù)學(xué)歷史中人類認(rèn)識(shí)的挫折和失敗，據(jù)此琢磨人類認(rèn)識(shí)提升所經(jīng)歷的階段，其中走過(guò)的彎路、碰到的認(rèn)知障礙等等，為準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)的思維歷程提供了一種可能。,25,數(shù)學(xué)本質(zhì)之于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義,在哲學(xué)

13、層面上，有這樣的數(shù)學(xué)教育規(guī)律：?jiǎn)栴}并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么。……如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭(zhēng)議。研究所教內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒話題。,26,數(shù)學(xué)史是厘清數(shù)學(xué)本質(zhì)的厚實(shí)背景,課堂中我們所接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，是經(jīng)過(guò)精心組織的公理化的結(jié)果，已經(jīng)和其歷史過(guò)程割裂開來(lái)。但一個(gè)數(shù)學(xué)概念，作為人類千百年思維抽象的結(jié)晶，僅僅看它的最終形式化表述，普通人就很難深入把握其確切的本質(zhì)意義。 英國(guó)數(shù)

14、學(xué)家阿蒂亞爵士說(shuō)，一個(gè)新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡(jiǎn)單的例子、最原始的定義，以及最初的一些結(jié)果。最重要的信息卻常常包括在容易的部分，甚至在幾個(gè)簡(jiǎn)單且深刻的觀察之上！,27,案例：用字母表示數(shù),例如，“用字母表示數(shù)”在教材配套的教師用書中，對(duì)其重要作用表述為這是人類認(rèn)識(shí)的一次飛躍，但教師實(shí)際上很難理解其真正的意義。反而有教師認(rèn)為，用字母表示數(shù)是因?yàn)椴恢肋@個(gè)數(shù)是多少。,28,讓歷史告訴我們（1）,初

15、等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程。最早的代數(shù)問(wèn)題： 已知“堆”（音：何）與七分之一“堆”相加得19，求“堆”的值。人類在解方程中的探索是按照兩條線索展開的。,29,讓歷史告訴我們（2）,阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米和他的《還原和對(duì)消的科學(xué)》。 把一個(gè)正方形面積加上其一邊長(zhǎng)度之十倍等于39時(shí)，此正方形必是什么（用現(xiàn)代符號(hào)表示即為x2＋10x =39）?花氏的解答為：把所加邊長(zhǎng)的倍數(shù)除以2，得5。把該數(shù)自乘，得

16、乘積25。把此數(shù)與39相加，得64。取此數(shù)的平方根得8，從該數(shù)中減去邊長(zhǎng)倍數(shù)之半，剩下3。此即所求正方形的邊長(zhǎng)，因而所求正方形面積等于9。,30,讓歷史告訴我們（3）,古埃及人用“堆”來(lái)表示特定的未知數(shù)；古中國(guó)，曾經(jīng)用天、地、人、物四個(gè)漢字來(lái)表示四個(gè)未知數(shù)；花拉子米本人在用完整的文字來(lái)敘述方程解法的同時(shí)，也沒(méi)有妨礙他把未知量稱為“東西”或（植物的）“根”。古希臘丟蕃圖是最早使用簡(jiǎn)略記號(hào)的代數(shù)學(xué)家。在他的著作里，將未知數(shù)稱為“題中的數(shù)”

17、，并用希臘字“數(shù)”的第一個(gè)音節(jié)的縮寫來(lái)表示。,31,讓歷史告訴我們（4）,一個(gè)個(gè)音節(jié)的縮寫，使得每一個(gè)縮寫其本身都具有先入為主的意義，因而就只能表示一個(gè)個(gè)特定的數(shù)量，只不過(guò)有所簡(jiǎn)略而已。因此，一個(gè)個(gè)方程都各具獨(dú)自的特點(diǎn)，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)木拗洞蠓ā分杏涗浀姆匠谭N類有66中之多。17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)尋找能求解各種方程的通用方法。,32,讓歷史告訴我們（5）,韋達(dá)在《分析方法引導(dǎo)》的名著中這樣寫道：在這里，我們用一種技巧來(lái)幫助我們區(qū)

18、別已給的量和所求的或未知的量，這就是用一種有永久性質(zhì)的、易于理解的符號(hào)體系――例如，用A或其他母音字母表示未知量，用B、C、G或其他子音字母表示已知量。,33,讓歷史告訴我們（6）,重要里程碑意義：超越了各類數(shù)量的具體特點(diǎn)，從一般意義上用字母來(lái)表示它們，濾去了原先代數(shù)活動(dòng)中的具體意義，省略了數(shù)學(xué)關(guān)系的實(shí)際情境，去掉了實(shí)際語(yǔ)言帶來(lái)的差別。這樣，就把原先各具特點(diǎn)的方程歸結(jié)成了通用的形式，使得代數(shù)變得能適應(yīng)所有場(chǎng)合的普遍情況，極大地?cái)U(kuò)展了代數(shù)

19、的應(yīng)用范圍。,34,讀 史 明 智,用字母表示數(shù)意味著： 縮寫→符號(hào) 未知量→已知量 特定→變化人類認(rèn)識(shí)提升的三個(gè)階段：文辭代數(shù)→ 縮寫代數(shù)→符號(hào)代數(shù)。,35,總結(jié)三,抽象的數(shù)學(xué)概念只有放在歷史背景中，和抽象活動(dòng)的歷史過(guò)程結(jié)合起來(lái)，才能變簡(jiǎn)練為豐富、變艱澀為生動(dòng)，才能較完整地呈現(xiàn)出其經(jīng)驗(yàn)性和演繹性二重統(tǒng)一的本質(zhì)，進(jìn)而才能

20、更容易被后來(lái)的學(xué)習(xí)者調(diào)動(dòng)起全部的經(jīng)驗(yàn)積累來(lái)支撐其建構(gòu)概念的全部含義。我們要在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)校形態(tài)、科學(xué)形態(tài)和原始形態(tài)之間來(lái)回穿梭，從更寬廣的視野研讀教材，思索領(lǐng)悟知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想內(nèi)核，把握人類認(rèn)識(shí)提升的大致過(guò)程。只有這樣，才能為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)獲得更好的理解提供生長(zhǎng)點(diǎn)。,36,從數(shù)學(xué)史到數(shù)學(xué)教育,小學(xué)數(shù)學(xué)中引入數(shù)學(xué)史不是為了數(shù)學(xué)史的教學(xué)，而是為了數(shù)學(xué)的教學(xué)。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，還只是重新應(yīng)用和思維加工的材料。一個(gè)教師知道

21、了一段數(shù)學(xué)史實(shí)，他設(shè)計(jì)的教學(xué)能有多大的創(chuàng)新性和發(fā)展性，取決于他在研讀數(shù)學(xué)史中的再創(chuàng)造程度。,37,策略一（1）,基于數(shù)學(xué)教學(xué)，即數(shù)學(xué)史的研讀要確立為了數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值取向。為了教學(xué)的數(shù)學(xué)史研讀，是為了站在歷史的高度，厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈、數(shù)學(xué)思想的演進(jìn)走向，更好地把握住所教數(shù)學(xué)知識(shí)的知性本質(zhì)，以求得我們的數(shù)學(xué)教育能注入深刻和厚重。所以，為了教學(xué)的數(shù)學(xué)史研讀，是立足于現(xiàn)實(shí)中的“人”而去關(guān)注歷史中的“人”和“事”。,38,策略一（2）,不能只

22、關(guān)注史實(shí)，而要通過(guò)歷史上不同數(shù)學(xué)事件的比較，提煉數(shù)學(xué)思想發(fā)展的規(guī)律，不斷優(yōu)化自己的數(shù)學(xué)觀念；要透過(guò)某知識(shí)歷史演進(jìn)的脈絡(luò)，提煉出人類認(rèn)識(shí)逐步提升的順序；要善于抓住歷史的表象，立足于認(rèn)識(shí)論的角度多些追問(wèn)；透過(guò)歷史上人類認(rèn)識(shí)曾經(jīng)走過(guò)的彎路、數(shù)學(xué)家們的挫折和困惑，提煉出人類認(rèn)識(shí)某知識(shí)的障礙；要立足于“給孩子們正確的數(shù)學(xué)觀念和良好的學(xué)習(xí)情感”的視角，捕捉有教育意義的歷史故事和歷史事件。,39,策略一（3）,研讀所依據(jù)的材料不是原始的數(shù)學(xué)史料

23、和文物，而是各種版次的數(shù)學(xué)史著作；研讀方法上要圍繞同一個(gè)事件，研讀不同版本的數(shù)學(xué)史，從不同的數(shù)學(xué)史著作中豐富此數(shù)學(xué)事件的內(nèi)涵，更要參考數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家的傳記等資料；在缺乏資料的情況下，不妨運(yùn)用“邏輯推演”的方式對(duì)某知識(shí)發(fā)展的歷史過(guò)程作出解釋。一方面可以站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，對(duì)古人數(shù)學(xué)思考和方法的走向進(jìn)行數(shù)理分析，以合情推理來(lái)把殘缺的歷史資料統(tǒng)合起來(lái)；另一方面，可以依據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的規(guī)律，對(duì)某知識(shí)的形成作出解釋。復(fù)原,,40,策略一（4）

24、,,,41,策略二（1）,寬于數(shù)學(xué)史實(shí)，即數(shù)學(xué)史的考察要和其它數(shù)學(xué)教育理論結(jié)合在一起。數(shù)學(xué)史所揭示的數(shù)學(xué)思想發(fā)展歷程，其最終可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)家們的思維發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，因而，數(shù)學(xué)發(fā)展的本質(zhì)和數(shù)學(xué)教育心理等其他數(shù)學(xué)教育理論所揭示的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律是相通的。,42,策略二（2）,從歷史上看，算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角和微積分都不是通過(guò)操作形式化的符號(hào)而產(chǎn)生的，任何一門學(xué)科最初都是通過(guò)直觀的方法建立起來(lái)的，數(shù)學(xué)家大都也是直觀地思考問(wèn)題，然后才用演繹的

25、形式，用文字、數(shù)學(xué)符號(hào)和形式邏輯來(lái)表述他的論點(diǎn)。,43,策略二（3）,數(shù)學(xué)教育心理學(xué)“表征”,44,策略三（1）,從歷史中汲取的教學(xué)素材和啟示，只不過(guò)提供了數(shù)學(xué)教學(xué)的另一種可能，能否成為現(xiàn)實(shí)的課堂，還應(yīng)該切合教學(xué)的現(xiàn)實(shí)狀況——課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)際要求、這一內(nèi)容的教科書編寫要義、學(xué)生可能的接受水平等，即在數(shù)學(xué)史和教學(xué)現(xiàn)實(shí)狀況間應(yīng)該達(dá)成一種平衡，以順應(yīng)課堂教學(xué)的特點(diǎn)。,45,策略三（2）,課堂教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史，不是完全再現(xiàn)歷史歷程，而是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)

26、展進(jìn)程中的經(jīng)典瞬間，讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)思想的洗禮。為此，荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾說(shuō)：“孩子應(yīng)該重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過(guò)程，但并非按照它的實(shí)際發(fā)生過(guò)程，而是假定人們?cè)谶^(guò)去就知道更多的我們現(xiàn)在所知道的東西，那情況會(huì)怎么發(fā)生?！币虼耍@其中重要的是符號(hào)化而不是符號(hào)本身，是語(yǔ)言描述而不是語(yǔ)言本身，是定義化而不是定義本身，如此等等。,46,策略三（3）,數(shù)學(xué)史也只有和教學(xué)現(xiàn)實(shí)融合在一起，才能明晰課堂教學(xué)的整體思路，不然教學(xué)就會(huì)迷失在浩瀚的數(shù)學(xué)史料中，失去