第二章-預(yù)備知識

1、第二章第二章預(yù)備知識預(yù)備知識本章給出本書所必需的預(yù)備知識。第一節(jié)介紹矩陣論的基本概念和基本知識；第二節(jié)討論廣義逆矩陣；第三節(jié)給出奇異矩陣束的概念；第四節(jié)討論正則矩陣的基本結(jié)果。2.1矩陣論基本概念和知識矩陣論基本概念和知識用表示復(fù)數(shù)集合，用表示實數(shù)集合。上的矩陣由表示，上的AAAmn?mn?AA矩陣由表示。除非特別說明，所有矩陣都屬于。mn?mn?Amn?mn?A如果，我們用表示的共軛轉(zhuǎn)置；對向量，通常的內(nèi)mnA??AAA1()nnxy

2、???AA積。對向量，定義它的Euclid范數(shù)，。對矩陣()xyyx?nx?A12||||()xxx?，我們使用算子范數(shù)，mnA??A||||sup||||:||||1.AAxx??如果是的一個子空間，表示的維數(shù)。如果，的值域MnAdimMMmnA??AA（列空間）用表示，而的零空間由表示。我們知道，()RAA:0xAx?()NAdim()dim().NARAn??設(shè)都是的子空間，這些空間的和是子空間1?sMMnA。11:ssiizxx

3、x?????????MMM如果（），即子空間是無關(guān)的，則它們的和稱為直和，0ij??MMij?1?sMM記作。我們知道，1s???MM11dim()dimdimss???????MMMM而且，如果，則存在唯一的使得1sx????MMiix?M1.sxxx????一個投影是一個矩陣使得。易證，。反之，如果nnP??A2PP?()()nRPNP??A，存在唯一的投影使得和；我們把這個投影稱為沿nMN??AP()RPM?()NPN?著到上的投

4、影，并記作。如果是的一個子空間，的一個正交補是NMMNPMnAM。:()0nMxxyyM??????A定理1.1的證明留給讀者。定理定理1.21.2如果，，和nnA??AInd()Av?dim()vRAs?dim()vNAt?則存在一個非奇異矩陣使得()stn??T(1.1)100CATTN????????其中是一個非奇異矩陣，是一個次數(shù)為的冪零矩陣。Css?Ntt?v證明：設(shè)是的一組基，是的一組基，則1()sxx?()vRA1()ty

5、y?()vNA為的一組基。如果，則存在坐標(biāo)使得11()stxxyy??nAnx?Aii??。設(shè)iiiixxy??????11()stTxxyy???則，其中，。uxTv???????1su??????????????1tv??????????????注意到，當(dāng)且僅當(dāng)，而當(dāng)且僅當(dāng)。如果，我們()vxRA?0v?()vxNA?0u?yAx?有，uuyTAxATvv?????????????????1uuCDuTATvvENv????????

6、?????????????????????其中是一個矩陣，是一個矩陣。這樣，。若Css?Ntt?uCuDv???vEuNv???，則。由于，故。由于對所有都有，因()vxRA?0v?()vyAxRA??0v??u0Eu?此。類似可證，從而得到，。0E?0D?1diag()TATCN??若，。這意味著對任意成立，從而。另一方()vxNA?0vAx?0vNv?v0vN?面，由于和是一個矩陣可得，是非奇異矩陣。現(xiàn)在，rank()rank()v