巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題

1、1巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題將一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線所組成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)法是在圖形具有公共端點(diǎn)的相等的線段特征時，可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法，主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中?，F(xiàn)就旋轉(zhuǎn)法在幾何證題中的應(yīng)用舉例加以說明，供同學(xué)

2、們參考。例1如圖在Rt△ABC中，∠C=90，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別AC和BC上，且DE⊥DF，求證：EF2=AE2BF2分析：從所證的結(jié)論來看，令人聯(lián)想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三條線段不在同一個三角形中，由于D是中點(diǎn)，我們可以考慮以D為旋轉(zhuǎn)中心，將BF旋轉(zhuǎn)到和AE相鄰的位置，構(gòu)造一個直角三角形，問題便迎刃而解。證明：延長FD到G，使DG=DF，連接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）

3、∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90∴∠EAG=90∴EG2=AE2AG2=AE2BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2BF2例2，如圖2，在⊿ABC中，∠ACB=90，AC=BC，P是⊿ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù).分析：題目已知條件中給出了三條線段的長度和一個直角，但已知的三條線段不在同一三角形中，故可考慮通過旋轉(zhuǎn)變換移至一個三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直

4、角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心。解：作MC⊥CP，使MC=CP，連接PM，BMGFEDCBA3證明：延長FC到N，使CN=AE，連結(jié)BN∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AC，∠BAC=90∵∠EBF=45∴∠ABE∠CBF=45由⊿ABE≌⊿CBN知BE=BN，∠CBN=∠ABE∴∠CBN∠CBF=45，即∠EBF=∠NBF又BE=BN，BF=BF∴⊿EBF≌⊿NBF（SAS）∴BM=BC∴BM=BA例5、如圖6，五邊形ABCDE中，AB＝AE，B

5、C＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180。求證：∠ADE＝∠ADC。解析：條件中有共點(diǎn)且相等的邊AE和AB，可將△ADE以點(diǎn)A為中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)∠BAE的角度到△AFB的位置，如圖7。這就使已知條件∠ABC＋∠AED＝180和BC＋DE＝CD通過轉(zhuǎn)化得到集中，使解題思路進(jìn)一步明朗。由△ADE≌△AFB，得∠AED＝∠ABF，∠ADE＝∠AFB，ED＝BF，AF＝AD。由∠ABC＋∠AED＝180，得∠ABC＋∠ABF＝180。所以

6、C、B、F三點(diǎn)共線。又CD＝BC＋DE＝BC＋BF＝CF，故∠CFD＝∠CDF。由AF＝AD，得到∠DFA＝∠FDA?！唷螦DE＝∠AFB＝∠CFD＋∠DFA＝∠CDF＋∠FDA＝∠ADC。例6、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一個點(diǎn)，PA=2，PB=，PC=4，求△ABC的邊長。32分析：PA、PB、PC比較分散，可利用旋轉(zhuǎn)將PA、PB、PC放在一個三角形中，為此可將△BPA繞B點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)60可得△BHC。解：把△BPA繞B點(diǎn)逆時