第四章-向量的內(nèi)積與二次型(華農(nóng)線代)

1、第四章第四章向量的內(nèi)積與二次型向量的內(nèi)積與二次型4.1向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積4.1.1向量的內(nèi)積與模向量的內(nèi)積與模定義定義4.1設(shè)有n維向量，，???????????????????naaa...21????????????????????nbbb...21?稱…為與的內(nèi)積，記為[]即1a1b2a2bnanb????[]=…=.??1a1b2a2bnanbiniiba??1內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，可用矩陣記號(hào)表示，當(dāng)與都是列向量時(shí)，有??[

2、]=T.????向量的內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律（其中，，都為n維向量，為實(shí)數(shù)）：????（1）[]=[，]；????（2）[]=[]；??????（3）[，]=[][].???????定義定義4.2數(shù)稱為向量=（）T的模（或長(zhǎng)度長(zhǎng)度），記為，即????，?naaa...21?===.?????，22221...naaa?????niia12當(dāng)=1時(shí)，稱為單位向量單位向量.??當(dāng)向量0時(shí)，是單位向量單位向量.???1?==1??1aa1定理定

3、理4.2若n維向量組1，2，…，r是正交向量組，則1，2，…，r線性無(wú)關(guān).??????在一個(gè)正交向量組中，如果每個(gè)向量都是單位向量，則稱這個(gè)向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.定理定理4.3設(shè)n維向量組1，2，…，m線性無(wú)關(guān)，令：???，11???，????1111222???????，，?，????????222231111333????????????，，，，?…，????????????111122221111m...?????

4、???mmmmmmmm?????????????????，則，，…，是正交向量組，且與1，2，…，m等價(jià).1?2?m????如果令（i=12，…m）iii???1?則1，2，…，m是與1，2，…，m等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組??????上述定理4.3從線性無(wú)關(guān)組1，2，…，m導(dǎo)出正交向量組，，…，的過(guò)???1?2?m?程稱為施密特正交化過(guò)程施密特正交化過(guò)程，此方法稱為施密特正交化方法施密特正交化方法.它不僅滿足，，…，與1?2?

5、m?1，2，…，m等價(jià)，還滿足：對(duì)任何k（1），向量組，，…，與???m??k1?2?k??1，2，…，k等價(jià).通常將，，…，轉(zhuǎn)化為到的過(guò)程稱為向量的單??1?2?m?m???...21，，位化位化.4.2.2正交矩陣與正交變換正交矩陣與正交變換定義定義4.6如果n階方陣A滿足ATA=I則稱A為正交矩陣正交矩陣.由定義4.6可得：正交矩陣A可逆，且A1=AT.定理定理4.4方陣A是正交矩陣的充分必要條件是A的列（行）向量是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組