第20講 曲線軌跡的探求

1、數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講20曲線軌跡的探求100080北京中國(guó)人民大學(xué)附中梁麗平題型預(yù)測(cè)題型預(yù)測(cè)解析幾何主要研究?jī)纱箢悊?wèn)題：一是根據(jù)題設(shè)條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，軌跡問(wèn)題成為解析幾何高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)也就不足為奇了探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，主要有以下方法：（1）定義法：若能結(jié)合題目條件分析出軌跡是什么曲線，則可利用曲線的定義得到結(jié)論（2）直接法：直接建立動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，

2、然后通過(guò)化簡(jiǎn)方程得出結(jié)論（3）間接法：又分為相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法等解答軌跡問(wèn)題時(shí)，若能充分挖掘幾何關(guān)系，則往往可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程范例選講范例選講例1已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，離心率為，且雙52曲線上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A（2，0）的最近距離為1（Ⅰ）證明：滿足條件的雙曲線的焦點(diǎn)不可能在y軸上；（Ⅱ）求此雙曲線的方程；（Ⅲ）設(shè)此雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，Q是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)12FF作的平分線的垂線，求垂足M的軌跡1F12FQF

3、?講解講解：（Ⅰ）可考慮反證法證明：設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，半焦距為，則由abcca?，得，所以，5222254aba??12ba?假設(shè)存在滿足條件且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則其漸近線方程為2yx??在此條件之下，一方面，我們當(dāng)然可以設(shè)雙曲線方程為：∴1222QFQFQTQFa????∴，22FTa?∴，OMa?即點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上a∵當(dāng)點(diǎn)Q沿雙曲線右支運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，QM趨近于雙曲線的漸近線，∴點(diǎn)M的軌跡是圓弧C

4、BD，除去點(diǎn)C點(diǎn)D.方程為：2265935xyx?????????????點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：挖掘圖形的幾何性質(zhì)，運(yùn)用定義求軌跡是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的常用方法例2如圖，過(guò)點(diǎn)A（－1，0），斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于P，Q兩點(diǎn).（I）若曲線C的焦點(diǎn)F與P，Q，R三點(diǎn)按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR，求點(diǎn)R的軌跡方程；（II）設(shè)P，Q兩點(diǎn)只在第一象限運(yùn)動(dòng)，（0，8）點(diǎn)與線段PQ中點(diǎn)的連線交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)N在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，求k的取值范圍.講解講

5、解：（I）要求點(diǎn)R的軌跡方程，注意到點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)是由直線l的運(yùn)動(dòng)所引起的，因此可以探求點(diǎn)R的橫、縱坐標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān)系然而，點(diǎn)R與直線l并無(wú)直接聯(lián)系與l有直接聯(lián)系的是點(diǎn)P、Q，通過(guò)平行四邊形將P、Q、R這三點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)就成為解題的關(guān)鍵由已知，代入拋物線C：y2=4x的方程，消x得：:(1)lykx??204kyyk???∵、QClP直線交拋物線于兩點(diǎn)∴20410kk??????????解得1001kk?????或設(shè)，M是PQ的中點(diǎn)，則