用向量法解決中學幾何問題

1、第頁1新教材中“向量”的魅力浙江省湖州中學張根榮（313000）新教材中的向量是新增的內(nèi)容，是我們所熟知的代數(shù)內(nèi)容，它是溝通數(shù)和形內(nèi)在聯(lián)系的有力工具。在幾何學中，把幾何圖形看作是點的集合，而點可以與其向徑一一對應。因此可以把作為點的集合的幾何圖形看作是向量的集合。這樣，幾何中所涉及的度量關(guān)系和位置關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為某種向量代數(shù)的運算。這種借助于向量代數(shù)的運算來證幾何題的方法有其獨特的魅力：1、用向量法解題用向量法來解決中學幾何問題，克服

2、了綜合證法常常需要添置若干輔助線而顯得思路曲折的缺點，因此使解題思路更加清晰、簡捷，解法順理成章。這是因為向量具有多方面的特性：向量的起點可以任意選擇；同時對向量可以進行線性運算、數(shù)量積和向量積，并且向量既有有向線段表達式又有坐標表達式，任一空間向量都可以在三個不共面向量（包括三個互相垂直的向量）上分解，同樣對于平面上的任一向量，也均可在兩個不共線的向量上進行分解。這樣就可使得空間的幾何結(jié)構(gòu)數(shù)量化了。另外向量運算的定義與運算的規(guī)律，是和

3、坐標系的選擇無關(guān)的。所以向量法證幾何題明顯優(yōu)越于解析法。因此，所有向量的這些特性，決定了向量代數(shù)知識在解答幾何問題上，具有突出的簡化作用和廣泛的適用范圍，是我們解中學幾何題的捷徑。利用向量法解中學幾何題的方法是多種多樣的，但我們有一般規(guī)律可循：1.1證線段相等問題用向量法證明線段的相等問題過程較為簡明，基本思路是證明向量的?；蚰５钠椒较嗟?。也就是說，欲證兩線段，可設(shè)法證明。CDAB?22CDAB?例1的中線和相等，求證：ABC?1AA1

4、BBBCAC?.證明：設(shè)，dBCcACbBBaAA????11且，則ba?即dac21??cbd21??dca21??cdb21??∴兩邊平方，整理可得，cddc2121???22dc?第頁3∴22nmnmDC???而=????0000bmcnbnamCDFB???????2221nmnm??∴21?????CDFBCDFBHMGcos∴???60HMG同理可得?????60MGHGHN故正三角形。HMG?1.3求圖形面積問題求圖形面積

5、問題，如果給定的幾何圖形是三角形或平行四邊形，則可直接在所給三角形或平行四邊形的邊上設(shè)置向量，再通過求出向量積以及討論向量積的幾何意義來求解。例3在中，、分別為、的中點，、相交于，求證：ABC?DEABACCDBEF:=1:3。BFCS?BACS?證明：如圖，有，?????????CAABBE21ABCACD21??∵、為中線BECD∴為重心∴FCDCFBEBF3232??故，??????????CAABBEBF213232??????