非線性動力學(xué)汪秉宏_第1頁
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1、1,2024/3/27,非線性動力學(xué)第一章汪 秉 宏,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代物理系,,2,2024/3/27,第一章 引言,§1 Newton 力學(xué)及其發(fā)展§2 非線性動力學(xué)的研究對象§3 非線性動力系統(tǒng)模型的建立,3,2024/3/27,§1 Newton 力學(xué)及其發(fā)展,力學(xué)的定性研究時期 (公元前-17世紀(jì)中葉) Archimedes, Galileo, Kepler定

2、量研究時期 ( 17世紀(jì)中葉-19世紀(jì)末) Newton,Lagrange, Hamilton,4,2024/3/27,(17世紀(jì))Newton方程:,基本問題:已知 的函數(shù)形式, 求上述方程組的解析表達式。數(shù)學(xué)家可證明其存在性及唯一性。基本方法-微擾論: 存在收斂問題。在天體力學(xué)中取得很大成功,能夠精確預(yù)言天體的運動。,5,2024/3/27,18世紀(jì): Lagrange 方程,Lagrange 函數(shù),6

3、,2024/3/27,19世紀(jì) Hamilton 方程,引進廣義動量,Hamilton 函數(shù),7,2024/3/27,Lagrange, Hamilton方程均與Newton方程等價力學(xué)的基本問題、基本方法未變結(jié)論:二百多年來牛頓力學(xué)無實質(zhì)性進展,,8,2024/3/27,19世紀(jì)末、20世紀(jì)初發(fā)生的對于牛頓力學(xué)的三大變革,9,2024/3/27,太陽系是否穩(wěn)定?——N 體穩(wěn)定性問題,微擾是否收斂?許多科學(xué)家宣稱太陽系是穩(wěn)定的

4、,但并未給出其證明。如 Dirichlet。奧斯卡獎1890年授予 Poincare. 他證明了所有微擾級數(shù)是發(fā)散的,因而研究穩(wěn)定性必須使用新的方法 ——定性方法:幾何拓撲,微分拓撲。力學(xué)的基本問題及基本方法必須徹底改變。 求解析解并不解決問題。,10,2024/3/27,新力學(xué)的理論特點: 力學(xué)的基本問題,研究系統(tǒng)在相空間中的軌跡的幾何性質(zhì)。即:研究相軌圖(phase portrait) 例如:是否周期解?(用微擾法不能回答這

5、一問題) 給出級數(shù)展開式: 如何證明?,11,2024/3/27,新力學(xué)的理論特點,基本方法:定性方法: 微分拓撲??大范圍分析 代數(shù)與群論數(shù)值方法:計算機模擬大大拓寬了力學(xué)的研究領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了許多新的力學(xué)現(xiàn)象。如:混沌、分岔、突變、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)變,12,2024/3/27,§2 非線性動力學(xué)的研究對象——非線性動力系統(tǒng)及各種特征系統(tǒng)的現(xiàn)象,a) 什么是非線性動力系統(tǒng)?線性方

6、程:量φ滿足的方程 L(φ)=0若(i) φ是線性空間中一個元素(矢量)(ii) L(aφ+bψ)=a ? L(φ) +b ? L(ψ)非線性動力系統(tǒng)的定義:一個動力系統(tǒng),若其基本力學(xué)量的運動由非線性方程描述,則稱作非線性動力學(xué)系統(tǒng)。,13,2024/3/27,非線性動力系統(tǒng)若一個動力系統(tǒng)由方程 描述,其中 也可以用系綜概率密度 ρ(x) 的運動描述。 Liuvill

7、 方程:是線性的。 兩個方程等價。但兩者的基本力學(xué)量不同。若以x為基本力學(xué)量,F(xiàn)為非線性時,則系統(tǒng)為非線性。,14,2024/3/27,考慮一對一變換則非線性方程有可能化為線性的習(xí)題1:求G的顯示表達式有些系統(tǒng),其相空間不是線性空間,這類系統(tǒng)必定是非線性的。例如:剛體動力學(xué)方程,相空間為SO3 流形。稱為運動(Kinetic)非線性。F的非線性稱為力學(xué)非線性。,15,2024/3/27,b) 什么是特征非線性現(xiàn)象?,

8、例: 考慮映射設(shè) f(x)>x 則xn+1> xn 即使 f 是非線性的,沒有任何不同于線性系統(tǒng)的有趣特征,,,,16,2024/3/27,已知的特征非線性現(xiàn)象:混沌、分岔、突變、自組織現(xiàn)象、耗散結(jié)構(gòu),分形特征,當(dāng) f(x)=r x(1-x) 時出現(xiàn)一系列分岔、混沌等非線性現(xiàn)象。非線性科學(xué)并不研究對于線性關(guān)系的偏離,而必須研究質(zhì)的變化。,17,2024/3/27,§3 非線性動力系統(tǒng)模型的建

9、立實際系統(tǒng)往往包含巨大數(shù)目自由度 s~1023,從中得出基本力學(xué)量及其遵循的方程,微觀描述 μ為控制參量,表示外界的影響,18,2024/3/27,亞宏觀描述引進集體運動變量: 忽略連續(xù)系統(tǒng)運動的漲落,可由微觀描述得到 漲落耗散定理 漲落項,,19,2024/3/27,宏觀描述 在長時間后,絕大多數(shù)集體運動模式由于耗散而衰減掉,可以考慮剩余運動模式。,設(shè)長

10、時間后只剩下 x1 ,…, xm 的運動,則在 t→∞ 時有Haken稱之為隨動原理(slaving principle). 代入前一方程,消去 xj , j=m+1,…,n 得 xj , j=1,…,m 稱作序參量(基本力學(xué)量)絕熱消除法: 中心流形→ 慣性流形,20,2024/3/27,IP address: 202.38.83.243 User

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