運籌學-目標規(guī)劃

1、第七章 目標規(guī)劃,7.1 目標規(guī)劃模型7.2 目標規(guī)劃的幾何意義與圖解法7.3 目標規(guī)劃求解的單純形方法,2024/3/27,2,在科學研究、經(jīng)濟建設(shè)和生產(chǎn)實踐中，人們經(jīng)常遇到一類含有多個目標的數(shù)學規(guī)劃問題，我們稱之為多目標規(guī)劃。本章介紹一種特殊的多目標規(guī)劃叫目標規(guī)劃(goal programming)，這是美國學者Charnes等在1952年提出來的。目標規(guī)劃在實踐中的應(yīng)用十分廣泛，它的重要特點是對各個目標分級加權(quán)與逐級優(yōu)化，這

2、符合人們處理問題要分別輕重緩急保證重點的思考方式。 本章分目標規(guī)劃模型、目標規(guī)劃的幾何意義與圖解法和求解目標規(guī)劃的單純形方法等三個部分進行介紹。,2024/3/27,3,7.1 目標規(guī)劃模型,(1) 問題提出 為了便于理解目標規(guī)劃數(shù)學模型的特征及建模思路, 我們首先舉一個簡單的例子來說明. 例 1 某公司分廠用一條生產(chǎn)線生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B ，每周生產(chǎn)線運行時間為60小時，

3、生產(chǎn)一臺A產(chǎn)品需要4小時，生產(chǎn)一臺B產(chǎn)品需要6小時．根據(jù)市場預(yù)測，A、B產(chǎn)品平均銷售量分別為每周9、8臺，它們銷售利潤分別為12、18萬元。在制定生產(chǎn)計劃時，經(jīng)理考慮下述4項目標：,2024/3/27,4,首先，產(chǎn)量不能超過市場預(yù)測的銷售量； 其次，工人加班時間最少； 第三，希望總利潤最大； 最后，要盡可能滿足市場需求, 當不能滿足時, 市場認為B產(chǎn)品的重要性是A產(chǎn)品的2

4、倍． 試建立這個問題的數(shù)學模型．討論： 若把總利潤最大看作目標，而把產(chǎn)量不能超過市場預(yù)測的銷售量、工人加班時間最少和要盡可能滿足市場需求的目標看作約束，則可建立一個單目標線性規(guī)劃模型 。,2024/3/27,5,設(shè)決策變量 x1，x2 分別為產(chǎn)品A，B的產(chǎn)量 Max Z = 12x1 + 18x2 s.t. 4x1 + 6x2 ? 60

5、 x1 ? 9 x2 ? 8 x1 , x2 ? 0 容易求得上述線性規(guī)劃的最優(yōu)解為(9,4)T 到 (3,8)T 所在線段上的點, 最優(yōu)目標值為Z* = 180, 即可選方案有多種. 在實際上, 這個結(jié)果并非完全符合決策者的要求

6、, 它只實現(xiàn)了經(jīng)理的第一、二、三條目標，而沒有達到最后的一個目標。進一步分析可知，要實現(xiàn)全體目標是不可能的。,,2024/3/27,6,(2) 目標規(guī)劃模型的基本概念 把例1的4個目標表示為不等式.仍設(shè)決策變量 x1，x2 分別為產(chǎn)品A，B的產(chǎn)量. 那么, 第一個目標為: x1 ? 9 ，x2 ? 8 ； 第二個目標為: 4x1 + 6x2 ? 60 ； 第三個目標為: 希望總利潤最大，

7、要表示成不等式需要找到一個目標上界，這里可以估計為252（=12?9 + 18?8），于是有 12x1 + 18x2 ? 252； 第四個目標為: x1 ? 9，x2 ? 8；,2024/3/27,7,下面引入與建立目標規(guī)劃數(shù)學模型有關(guān)的概念． （1）正、負偏差變量d +，d - 我們用正偏差變量d + 表示決策值超過目標值的部分；負偏差變量d - 表

8、示決策值不足目標值的部分。因決策值不可能既超過目標值同時又末達到目標值，故恒有 d + ?d - ＝ 0 ． （2）絕對約束和目標約束 我們把所有等式、不等式約束分為兩部分：絕對約束和目標約束。,2024/3/27,8,絕對約束 指必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束；如在線性規(guī)劃問題中考慮的約束條件，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。設(shè)例1 中生產(chǎn)A，B產(chǎn)品所需原材料數(shù)量有限制，并且無法從其

9、它渠道予以補充，則構(gòu)成絕對約束。目標約束 目標規(guī)劃特有的，我們可以把約束右端項看作要努力追求的目標值，但允許發(fā)生正式負偏差，用在約束中加入正、負偏差變量來表示，于是稱它們是軟約束。,2024/3/27,9,對于例1, 我們有如下目標約束 x1 + d1- -d1+ = 9 (1) x2 + d2- -d2+ = 8

10、 (2) 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 (3)12x1+18x2 + d4- -d4+ =252 (4),2024/3/27,10,(3) 優(yōu)先因子與權(quán)系數(shù) 對于多目標問題，設(shè)有L個目標函數(shù)f1,f2,?,fL, 決策者在要求達到這些目標時，一般有主次之分。為此，我們引入優(yōu)先因子Pi ，i = 1,2,?,L.無妨設(shè)預(yù)期的目標函數(shù)優(yōu)先順序為f1,

11、f2,?,fL,我們把要求第一位達到的目標賦于優(yōu)先因子P1，次位的目標賦于優(yōu)先因子P2、…，并規(guī)定 Pi >> Pi+1，i = 1,2,?,L-1. 即在計算過程中, 首先保證P1級目標的實現(xiàn)，這時可不考慮次級目標；而P2級目標是在實現(xiàn)P1級目標的基礎(chǔ)上考慮的，以此類推。當需要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的若干個目標的差別時，可分別賦于它們不同的權(quán)系數(shù)wj 。優(yōu)先因子及權(quán)系數(shù)的值，均由決策者按具體情況來確定．,2024/

12、3/27,11,（4）目標規(guī)劃的目標函效． 目標規(guī)劃的目標函數(shù)是通過各目標約束的正、負偏差變量和賦于相應(yīng)的優(yōu)先等級來構(gòu)造的． 決策者的要求是盡可能從某個方向縮小偏離目標的數(shù)值。于是，目標規(guī)劃的目標函數(shù)應(yīng)該是求極小：Min f ＝ f （d +，d -) 其基本形式有三種：,2024/3/27,12,① 要求恰好達到目標值，即使相應(yīng)目標約束的正、負偏差變量都要盡可能地小。

13、 這時取 Min （d + + d - )； ② 要求不超過目標值，即使相應(yīng)目標約束的正偏差變量要盡可能地小。 這時取 Min （d + )； ③ 要求不低于目標值，即使相應(yīng)目標約束的負偏差變量要盡可能地小。 這時取 Min （d - )；,2024/3/27,13,對于例 1, 我們根據(jù)決策者的考慮知 第一

14、優(yōu)先級要求 Min（d1+ + d2+ )； 第二優(yōu)先級要求 Min（d3+ )； 第三優(yōu)先級要求 Min（d4- )； 第四優(yōu)先級要求 Min（d1- + 2d2- )， 這里, 當不能滿足市場需求時, 市場認為B產(chǎn)品的重要性是A產(chǎn)品的2倍．即減少B產(chǎn)品的影響是A產(chǎn)品的2倍，因此我們引入了2:1的權(quán)系數(shù)。,2024/3/27,14,綜合上述分析，可得到下列目標規(guī)劃模型 Min f =

15、P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) s.t. x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+

16、= 60 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ = 252 x1 , x2 , di- ,di+ ? 0 , i = 1,2,3,4.,,2024/3/27,15,(3) 目標規(guī)劃模型的一般形式,式中的第二行是L個目標約束，第三行是m個絕對約束，clj 和gl 是目標參數(shù)。,2024/3/27,16,例2

17、 甲 乙 有效工時 金工 4 2 400 裝配 2 4 500 收益 100 80 LP： Max Z=

18、100X1 + 80X2 2X1+4X2 ? 500 s.t 4X1+2X2 ? 400 X* =(50,100) X1 , X2? 0 Z* =13000,,,,,,2024/3/27,17,目標：去年總收益9000，增長要求11

19、.1% 即：今年希望總收益不低于10000引入 d+：決策超過目標值部分(正偏差變量) d-：決策不足目標值部分(負偏差變量)目標約束： 100X1+80X2 -d++d- =10000 d+?d- =0 d+,d- ? 0,2024/3/27,18,2024/3/27,19,例3

20、 Ⅰ Ⅱ 資源擁有量 原材料(公斤) 2 1 11 設(shè)備(小時) 1 2 10 利潤(千元/件) 8 10原材料價格上漲，超計劃要高價購買，所以要嚴格控制市場情況，產(chǎn)品Ⅰ銷售量下降，產(chǎn)品Ⅰ的產(chǎn)量不大于產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量

21、充分利用設(shè)備，不希望加班盡可能達到并超過利潤計劃指標56千元,,,,,2024/3/27,20,建模：設(shè)定約束條件。(目標約束、絕對約束)規(guī)定目標約束優(yōu)先級建立模型 設(shè)X1 ，X2為產(chǎn)品Ⅰ，產(chǎn)品Ⅱ產(chǎn)量。,2024/3/27,21,d1- : X1產(chǎn)量不足X2 部分d1+ : X1產(chǎn)量超過X2 部分d2- : 設(shè)備使用不足10 部分d2+ :設(shè)備使用超過10 部分d3- : 利潤不足56 部分d3+ :

22、利潤超過56 部分,或 Min Z1 = d1+ Min Z2 = d2- +d2+ Min Z3 = d3-,Min Z=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3(d3-),2024/3/27,22,例4 電視機廠裝配25寸和21寸兩種彩電，每臺電視機需裝備時間1小時，每周裝配線計劃開動40小時，預(yù)計每周25寸彩電銷售24臺，每臺可獲利80元，每周21寸彩電銷售30臺，每臺可獲利40元。該廠目標

23、：充分利用裝配線，避免開工不足。允許裝配線加班，但盡量不超過10小時。盡量滿足市場需求。,2024/3/27,23,解：設(shè)X1 , X2 分別表示25寸，21寸彩電產(chǎn)量,2024/3/27,24,對只具有兩個決策變量的目標規(guī)劃的數(shù)學模型，我們可以用圖解法來分析求解．通過圖解示例，可以看到目標規(guī)劃中優(yōu)先因子，正、負偏差變量及權(quán)系數(shù)等的幾何意義。 下面用圖解法來求解例1 我們先在平面直角坐標系

24、的第一象限內(nèi)，作出與各約束條件對應(yīng)的直線，然后在這些直線旁分別標上 G-i ，i = 1，2，3，4。圖中x，y分別表示問題的x1和x2；各直線移動使之函數(shù)值變大、變小的方向用 +、- 表示 di+ ,di- ．,7.2 目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法,2024/3/27,25,2024/3/27,26,下面我們根據(jù)目標函數(shù)的優(yōu)先因子來分析求解．首先考慮第一級具有P1優(yōu)先因子的目標的實現(xiàn)，在目標函數(shù)中要求實現(xiàn)Min（d1++ d2+

25、),取d1+=d2+ =0.圖2 中淺紅色陰影部分即表示出該最優(yōu)解集合的所有點。 我們在第一級目標的最優(yōu)解集合中找滿足第二優(yōu)先級要求Min（d3+ )的最優(yōu)解.取d3+= 0 ,可得到圖3 中淺綠陰影部分即是滿足第一、第二優(yōu)先級要求的最優(yōu)解集合。,2024/3/27,27,,2024/3/27,28,2024/3/27,29,第三優(yōu)先級要求 Min（d4-)，根據(jù)圖示可知，d4- 不可能取0值，我們?nèi)∈筪4- 最

26、小的值72得到圖4中兩陰影部分的交線(紅色粗線)，其表示滿足第一、第二及第三優(yōu)先級要求的最優(yōu)解集合。 最后，考慮第四優(yōu)先級要求 Min（d1- + 2d2- ) ，即要在黑色粗線段中找出最優(yōu)解。由于d1- 的權(quán)因子小于d2- ，因此在這里可以考慮取d2- =0。于是解得d1-=5，最優(yōu)解為A點x = 3，y = 8。,2024/3/27,30,,A(3,8),2024/3/27,31,7.3 目標規(guī)劃的單純形方法,目標規(guī)劃的數(shù)

27、學模型,特別是約束的結(jié)構(gòu)與線性規(guī)劃模型沒有本質(zhì)的區(qū)別，只是它的目標不止是一個,雖然其利用優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)把目標寫成一個函數(shù)的形式, 但在計算中無法按單目標處理, 所以可用單純形法進行適當改進后求解。在組織、構(gòu)造算法時，我們要考慮目標規(guī)劃的數(shù)學模型一些特點，作以下規(guī)定： (1) 因為目標規(guī)劃問題的目標函數(shù)都是求最小化，所以檢驗數(shù)的最優(yōu)準則與線性規(guī)劃是相同的；,2024/3/27,32,(2) 因為非基變量的檢驗數(shù)中含有

28、不同等級的優(yōu)先因子， Pi >> Pi+1，i = 1,2,?,L-1. 于是從每個檢驗數(shù)的整體來看： Pi+1（i = 1,2,?,L-1）優(yōu)先級第k個檢驗數(shù)的正、負首先決定于 P1 ，P2 ，… ，Pi 優(yōu)先級第k個檢驗數(shù)的正、負。若P1 級第k個檢驗數(shù)為0，則此檢驗數(shù)的正、負取決于P2級第k個檢驗數(shù)；若P2 級第k個檢驗數(shù)仍為0，則此檢驗數(shù)的正、負取決于P3級第k個檢驗數(shù)，依次類推。換一句話說，當某Pi 級第k個檢驗數(shù)

29、為負數(shù)時，計算中不必再考察Pj（ j > I ）級第k個檢驗數(shù)的正、負情況；,2024/3/27,33,（3）根據(jù)目標規(guī)劃模型特征，當不含絕對約束時，di- （i=1,2,… ,K）構(gòu)成了一組基本可行解。在尋找單純形法初始可行點時，這個特點是很有用的。 解目標規(guī)劃問題的單純形法的計算步驟 (1)建立初始單純形表．在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別列成K行。初始的檢驗數(shù)需根據(jù)初始可行解計算出來，方法同基本單

30、純形法。當不含絕對約束時，di- （i=1,2,… ,K）構(gòu)成了一組基本可行解，這時只需利用相應(yīng)單位向量把各級目標行中對應(yīng)di- （i=1,2,… ,K）的量消成0即可得到初始單純形表。置k ＝ 1；,2024/3/27,34,(2)檢查當前第k行中是否存在小于0，且對應(yīng)的前k-1行的同列檢驗數(shù)為零的檢驗數(shù)。若有取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)(3)。若無這樣的檢驗數(shù)，則轉(zhuǎn)(5)； (3)按單純形法中的最小比值規(guī)則確定

31、換出變量，當存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量，轉(zhuǎn)（4）； (4)按單純形法進行換基運算，建立新的單純形表，（注意：要對所有的行進行初等變換運算）返回(2)； (5)當k ＝ K 時，計算結(jié)束。表中的解即為滿意解。否則置k = k+1，返回（2）。,2024/3/27,35,例 1 試用單純形法來求解例1的目標規(guī)劃模型 Min f = P1（d1+ +

32、 d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) s.t. x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60

33、 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ =252 x1 , x2 , di- ,di+ ? 0 , i = 1,2,3,4.,,2024/3/27,36,解: 首先處理初始基本可行解對應(yīng)的各級檢驗數(shù)。,,,2024/3/27,37,（1）k = 1，在初始單純形表中基變量為

34、 （d1-,d2-,d3-,d4-)T =（9，8 ， 60，252)T ；（2）因為P1與P2優(yōu)先級的檢驗數(shù)均已經(jīng)為非負，所以這個單純形表對P1與P2優(yōu)先級是最優(yōu)單純形表；（3）下面考慮P3優(yōu)先級，第二列的檢驗數(shù)為-18，此為進基變量，計算相應(yīng)的比值 bi/aij 寫在 ? 列。通過比較，得到d2- 對應(yīng)的比值最小，于是取a22（標為 * 號）為主元進行矩陣行變換得到新的單純形表；,2024/3/27,38,（4）下面繼續(xù)考慮P

35、3優(yōu)先級，第一列的檢驗數(shù)為 -12，此為進基變量，計算相應(yīng)的比值 bi/aij ，得到d3- 對應(yīng)的比值最小，于是取a31（標為 * 號）為轉(zhuǎn)軸元進行矩陣行變換得到新的單純形表；,,,2024/3/27,39,（5）當前的單純形表各優(yōu)先級的檢驗數(shù)均滿足了上述條件, 故為最優(yōu)單純形表。我們得到最優(yōu)解x1=3，x2=8 。,,2024/3/27,40,例4、電視機廠裝配25寸和21寸兩種彩電，每臺電視機需裝備時間1小時，每周裝配線計劃開動4

36、0小時，預(yù)計每周25寸彩電銷售24臺，每臺可獲利80元，每周21寸彩電銷售30臺，每臺可獲利40元。該廠目標：1、充分利用裝配線，避免開工不足。2、允許裝配線加班，但盡量不超過10小時。3、盡量滿足市場需求。,2024/3/27,41,解：設(shè)X1 , X2 分別表示25寸，21寸彩電產(chǎn)量,2024/3/27,42,,,,2024/3/27,43,,,,2024/3/27,44,,,2024/3/27,45,,2024/3/27,