注意添加平行線證題

1、智浪教育—普惠英才文庫第一講第一講注意添加平行線證題注意添加平行線證題在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問題時若能依據(jù)證題的需要添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€則能使證明順暢、簡潔.添加平行線證題一般有如下四種情況.1為了改變角的位置為了改變角的位置大家知道兩條平行直線被第三條直線所截同位角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì)?？赏ㄟ^添加平行線將某些角的位置改變以滿足求解的需要.

2、例1設(shè)P、Q為線段BC上兩點且BP＝CQA為BC外一動點(如圖1).當(dāng)點A運動到使∠BAP＝∠CAQ時△ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答：當(dāng)點A運動到使∠BAP＝∠CAQ時△ABC為等腰三角形.證明：如圖1分別過點P、B作AC、AQ的平行線得交點D.連結(jié)DA.在△DBP＝∠AQC中顯然∠DBP＝∠AQC∠DPB＝∠C.由BP＝CQ可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC∠BDP＝∠QAC.于是DA∥BP∠BAP＝∠BDP.則A、D、B

3、、P四點共圓且四邊形ADBP為等腰梯形.故AB＝DP.所以AB＝AC.這里通過作平行線將∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四點共圓使證明很順暢.例2如圖2四邊形ABCD為平行四邊形∠BAF＝∠BCE.求證：∠EBA＝∠ADE.證明：證明：如圖2分別過點A、B作ED、EC的平行線得交點P連PE.由ABCD易知△PBA≌△ECD.有PA＝EDPB＝EC.顯然四邊形PBCE、PADE均為平行四邊形.有∠BCE＝∠BPE∠AP

4、E＝∠ADE.由∠BAF＝∠BCE可知∠BAF＝∠BPE.有P、B、A、E四點共圓.于是∠EBA＝∠APE.所以∠EBA＝∠ADE.這里通過添加平行線使已知與未知中的四個角通過P、B、A、E四點共圓緊密聯(lián)系起來.∠APE成為∠EBA與∠ADE相等的媒介證法很巧妙.2欲“送”線段到當(dāng)處欲“送”線段到當(dāng)處利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條常可通過添加平行線將某些線段“送”到恰當(dāng)位置以證題.例3在△ABC中BD、C

5、E為角平分線P為ED上任意一點.過P分別作AC、AB、BC的垂線M、N、Q為垂足.求證：PM＋PN＝PQ.證明：證明：如圖3過點P作AB的平行線交BD于F過點F作BC的平行線分別交PQ、AC于K、G連PG.由BD平行∠ABC可知點F到AB、BC兩邊距離相等.有KQ＝PN.顯然＝＝可知PG∥EC.PDEPFDEFGDCG由CE平分∠BCA知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.這里通過添加平行線將PQ“掐開”成

6、兩段證得PM＝PK就有PM＋PN＝PQ.證法非常簡捷.3為了線段比的轉(zhuǎn)化為了線段比的轉(zhuǎn)化由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所得對應(yīng)線段成比例”在一些問題中可以通過添加平行線實現(xiàn)某些線段比的良性轉(zhuǎn)化.這在平面幾何證題中是會經(jīng)常遇到的.例4設(shè)M1、M2是△ABC的BC邊上的點且BM1＝CM2.任作一直線分別交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.試證：＋＝＋.APABAQAC11ANAM22ANAM∥＝ADBPQC圖1PEDG

7、ABFC圖2ANEBQKGCDMFP圖3智浪教育—普惠英才文庫AD2＝AE2＝AGAB.二式相減得DB2－AD2＝AB(HB－AG)或(DB－AD)AB＝AB(HB－AG).于是DB－AD＝HB－AG或DB－HB＝AD－AG.就是DH＝GD.顯然EG∥CD∥FH.故CD平分EF.這里為證明CD平分EF想到可先證CD平分GH.為此添加CD的兩條平行線EG、FH從而得到G、H兩點.證明很精彩.經(jīng)過一點的若干直線稱為一組直線束.一組直線束在一

8、條直線上截得的線段相等在該直線的平行直線上截得的線段也相等.如圖8三直線AB、AN、AC構(gòu)成一組直線束DE是與BC平行的直線.于是有＝＝即＝或＝.BNDMANAMNCMEBNDMNCMEMEDMNCBN此式表明DM＝ME的充要條件是BN＝NC.利用平行線的這一性質(zhì)解決某些線段相等的問題會很漂亮.例8如圖9ABCD為四邊形兩組對邊延長后得交點E、F對角線BD∥EFAC的延長線交EF于G.求證：EG＝GF.證明：證明：如圖9過C作EF的平行

9、線分別交AE、AF于M、N.由BD∥EF可知MN∥BD.易知S△BEF＝S△DEF.有S△BEC＝S△ⅡKG－5ⅡDFC.可得MC＝CN.所以EG＝GF.例9如圖10⊙O是△ABC的邊BC外的旁切圓D、E、F分別為⊙O與BC、CA、AB的切點.若OD與EF相交于K求證：AK平分BC.證明：證明：如圖10過點K作BC的行平線分別交直線AB、AC于Q、P兩點連OP、OQ、OE、OF.由OD⊥BC可知OK⊥PQ.由OF⊥AB可知O、K、F、Q

10、四點共圓有∠FOQ＝∠FKQ.由OE⊥AC可知O、K、P、E四點共圓.有∠EOP＝∠EKP.顯然∠FKQ＝∠EKP可知∠FOQ＝∠EOP.由OF＝OE可知Rt△OFQ≌Rt△OEP.則OQ＝OP.于是OK為PQ的中垂線故QK＝KP.所以AK平分BC.綜上我們介紹了平行線在平面幾何問題中的應(yīng)用.同學(xué)們在實踐中應(yīng)注意適時添加平行線讓平行線在平面幾何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用.練習(xí)題1.四邊形ABCD中AB＝CDM、N分別為AD、BC的中點延長BA

11、交直線NM于E延長CD交直線NM于F.求證：∠BEN＝∠CFN.(提示：設(shè)P為AC的中點易證PM＝PN.)2.設(shè)P為△ABC邊BC上一點且PC＝2PB.已知∠ABC＝45∠APC＝60.求∠ACB.(提示：過點C作PA的平行線交BA延長線于點D.易證△ACD∽△PBA.答：75)3.六邊開ABCDEF的各角相等FA＝AB＝BC∠EBD＝60S△EBD＝60cm2.求六邊形ABCDEF的面積.(提示：設(shè)EF、DC分別交直線AB于P、Q過點