[教育]振動理論及其運用第6章非線性振動

1、第6章 非線性振動,振 動 理 論 及 其 應 用,6.1 非線性振動概述,6.2 非線性振動的定性分析方法,6.3 非線性振動的近似解析方法,6.4 非線性振動的數(shù)值分析方法,6.5 分叉與混沌的概念,6.1 非線性振動概述,第6章 非線性振動,非線性特性,非線性系統(tǒng) 當真實系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關系超出線性范圍，或阻尼元件的力與運動速度之間的關系不滿足作線性關系時，系統(tǒng)的運動微分方程不能用線性微分方程描

2、述，稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當真實系統(tǒng)作小運動時，可忽略系統(tǒng)的高階微小量，近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。,第6章 非線性振動 6.1 非線性振動概述,非線性振動的研究方法 非線性振動研究的方法有：定性分析、定量分析和數(shù)值分析方法。,非線性振動研究的內(nèi)容 非線性振動研究的基本內(nèi)容之一就是建立對真實振動系統(tǒng)的計算方法，改進計算精度，探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。,定性法 研究已知解的領域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，而不是運動

3、的時間歷程。通常采用幾何方法描述系統(tǒng)的運動特征。,定量法 通過一些漸近的解析方法研究系統(tǒng)運動的時間歷程。,數(shù)值法 通過數(shù)值計算方法研究系統(tǒng)非線性振動的規(guī)律和現(xiàn)象。,第6章單 非線性振動 6.1 非線性振動概述,線性振動,非線性振動與線性振動的區(qū)別,非線性振動,自由振動頻率與初始條件無關,自由振動頻率與振幅有關,強迫振動頻率與激勵力頻率相等,強迫振動頻率成分復雜，有時與激勵頻率不相等的頻率成分突出,穩(wěn)定平衡位

4、置附近的運動是穩(wěn)定的,穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定和不穩(wěn)定運動,強迫振動中每個激勵頻率有一個對應的振幅,強迫振動中幅頻與相頻曲線發(fā)生彎曲，產(chǎn)生多值性,疊加原理成立,疊加原理不成立,6. 2 非線性振動的定性分析方法,第6章 非線性振動,設n自由度系統(tǒng)的運動微分方程為,位形空間,相空間,其中， qi是廣義坐標，fi是廣義坐標和廣義速度的非線性函數(shù)。,由變量qi規(guī)定的n維笛卡兒空間稱為位形空間。方程的解qi(t)可用位形空間的n維矢量表示

5、。,由變量qi和 規(guī)定的2n維空間稱為狀態(tài)空間或相空間。,設 ， 和 ，,則矢量{x}可唯一表示系統(tǒng)在任一時刻t的狀態(tài)。,方程可寫為 或,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng),Xi中沒有一個顯含時間t 時，系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)， Xi中至少有一個顯含時間t 時，系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。,普通點和奇異點,凡是

6、 的點稱為普通點、相點或正則點；而{X} ＝{ 0 }的點稱為奇異點或平衡點。,從狀態(tài)方程可以看出平衡點的速度與加速度為零。,未擾解和被擾解,xi= fi (t )為方程的一個已知解，稱為未擾解。研究系統(tǒng)在fi (t )領域中的運動xi (t )稱為被擾運動。 特別有意義的兩類未擾解是對應于平衡點的常數(shù)解和對應于封閉軌線的周期解。,第6章 非線性振動

7、6. 2 非線性振動的定性分析方法,Lyapunov穩(wěn)定性定義,穩(wěn)定性的幾何解釋,設由 xi 規(guī)定的相空間的原點與平衡點重合，則系統(tǒng)的運動幅度定義為原點到擾動解積分曲線上任何一點的距離：,若給定任意小的正數(shù)e，存在正數(shù)d，對于一切受擾運動，只要其初始擾動滿足 ，對于所有的 均滿足 ，則稱平凡解是穩(wěn)定的。,若這個平凡解是Lyapunov穩(wěn)定的，而且 ，則解是漸近穩(wěn)定的。,不穩(wěn)定,

8、漸近穩(wěn)定,穩(wěn)定,,,,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,相平面,討論一單自由度自治系統(tǒng)的自由振動，其動力學方程的一般形式為：,對于單自由度系統(tǒng)，相空間縮減為以x1和x2為直角坐標系的（x1，x2 ）平面，稱為系統(tǒng)的相平面。,設 ， 和 ， ，上式可以寫為狀態(tài)變量的一階微分方程組：,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,與系統(tǒng)的運動

9、狀態(tài)一一對應的相平面上的點稱為系統(tǒng)的相點。,相軌跡,不同初始條件的相軌跡組成相軌跡族。,系統(tǒng)的運動過程可用相點在相平面上的移動過程來描述。相點移動的軌跡稱為相軌跡，或相跡。,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,奇點,,相平面內(nèi)能使狀態(tài)方程右端等于零的特殊點稱為相軌跡的奇點。表明系統(tǒng)的速度和加速度均等于零，奇點的物理意義即系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此也可將奇點稱為平衡點。,對單自由度自治系統(tǒng)的自由振動，狀態(tài)方程為：,相

10、平面上個別的平衡點就是以下方程的解：,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,記系數(shù)矩陣,不失一般性，將坐標原點移至奇點處，并將函數(shù)在奇點（0，0）附近展開為泰勒級數(shù)，得到：,其中,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,引入向量,設e1和e2是在原點的領域中小到可以忽略，則可以用下列線性化方程討論非線性方程在原點附近的穩(wěn)定性：,作非奇異線性變換,則方程可以寫為,其中,第6章 非線性振動

11、 6. 2 非線性振動的定性分析方法,選擇合適的B，可使變換后的矩陣J 為若當標準型，可以證明，矩陣J與矩陣A有相同的特征值。,下面討論矩陣J 的特征值與奇點特性的關系。,J 有不相等的實特征值l1和l2，則有,線性變換后的方程,上式的解為,解的兩邊分別對時間求導，并消去時間t，可以得到,其中,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,則有,或,設a = l 2 / l 1 ，則有,或把解

12、 改寫成 和,或,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,相軌跡為指數(shù)曲線族。 當 l1>0>l2 ，即兩個本征值異號時，a<0，除了u1=0的相跡趨向于原點外，其余相跡都遠離原點，根據(jù)穩(wěn)定性的定義，平衡點為不穩(wěn)定奇點，稱為鞍點。對應于負剛度的情況。,鞍點,從式

13、 可得到相軌跡方程,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,當 a > 0，即兩個特征值同號時，奇點為結點。當 兩個特征值都為負時，當 t → ∞時，所有的軌線趨向于原點，因此，奇點是穩(wěn)定結點，系統(tǒng)的運動是漸近穩(wěn)定的。而當特征值同為正時，奇點是不穩(wěn)定結點。,穩(wěn)定結點,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,J 有相同的特征值l1 = l2,一種情況為,方程可以寫為：,方程的解為,第6章

14、 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,相軌跡方程為,相軌跡為直線族。 當 兩個特征值小于零時相跡的方向指向原點，奇點為穩(wěn)定節(jié)點；當 兩個特征值大于零時相跡的方向遠離原點，奇點為不穩(wěn)定節(jié)點 。,穩(wěn)定結點,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,J 有相同的本征值l1 = l2,此時方程可以寫為：,此方程的解為,另一種情況為,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,上述兩式相除，

15、并消去時間 t可得,（x < 0）,當特征值l1 < 0 時，,u2與u1相比是無窮大量。相跡在原點與u2軸相切，所有相跡的方向都指向原點，因此，奇點是穩(wěn)定結點。,穩(wěn)定結點,（x > 0）,當l1 > 0 時，奇點是不穩(wěn)定結點。,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,若J 有共軛復根,則有,將直角坐標變換成極坐標,方程可寫為,因而,兩邊對時間求導,第6章 非線性振動 6. 2 非線性

16、振動的定性分析方法,此方程的通解為,此時的相軌跡為圍繞奇點的螺旋線，奇點為焦點。,當a 0 時是不穩(wěn)定焦點。,穩(wěn)定焦點,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,當a ＝ 0 時，相軌跡轉化為圓，奇點為中心。,中心,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,奇點的分類準則,線性變換后的變量u與變換前的變量x是線性同構的，它們的奇點類型也完全相同。根據(jù)以上分析結果，奇點的類型取決于矩陣A的特征值。

17、將A的特征方程展開，得到：,其中,特征值為,其中,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,奇點類型和這兩個參數(shù)的關系可以歸納如下：,由上面的分析可以看出，奇點的不同類型由參數(shù)p和D完全確定，只要這兩個參數(shù)確定了，則系統(tǒng)奇點的類型就確定。,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,參數(shù)平面上的奇點類型,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,例題6－1,判斷單擺的奇點類型,設

18、單擺相對垂直軸的偏角j為廣義坐標，其動力學方程為,或,設：,方程式可以寫為狀態(tài)變量的一階微分方程組：,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,得到單擺的奇點為,其中，,令：,把原點移至單擺的奇點，則在原點附近線性化的方程為：,所以有：,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,根據(jù)前面的分析，由p、q和D來判斷系統(tǒng)的奇點類型:,(0, 0),第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分

19、析方法,單擺的相軌跡圖,從單擺相軌圖上可以清楚看到系統(tǒng)奇點的性質(zhì)。,單擺的相軌跡圖,狀態(tài)方程,改寫成,消去 d t：,整理：,積分：,或：,第6章 非線性振動 6. 2 非線性振動的定性分析方法,極限環(huán),相平面內(nèi)的封閉軌線是對系統(tǒng)周期運動的定性描述。穩(wěn)定的中心周圍密集的封閉軌線對應于單自由度保守系統(tǒng)的自由振動，振幅取決于初始條件。 孤立的封閉軌線稱作極限環(huán)，振幅取決于系統(tǒng)參數(shù)。,極限環(huán)穩(wěn)定性的幾何解釋,第6章 非線性振動