[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉ppt3shu

1、2024/3/26,1,第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,第一節(jié) 復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì),2024/3/26,2,1.有向曲線:,簡單曲線（Jordan曲線）： 無重點的連續(xù)曲線光滑曲線：處處有切線,且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動的曲線逐段光滑曲線：有限條光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線,,2024/3/26,3,(1) 曲線C是開口弧段，若規(guī)定它的端點P為起點，Q為終點，則沿曲線 C 從 P 到Q 的方向為曲線C的正方向把正向曲線記為C

2、或C+.,在討論復(fù)變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：,而由Q到P的方向稱為C的負方向,負向曲線,2024/3/26,4,(2) 如果 是簡單閉曲線，規(guī)定人沿著曲線邊界行走時，區(qū)域內(nèi)部總保持在人的左側(cè)為正方向，因此，逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向．,,,,(3) 如果 是復(fù)平面上某一個多連通域的邊界曲線，則 的正方向

3、這樣規(guī)定：當(dāng)人沿曲線 行走時，區(qū)域總保持在人的左側(cè)，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內(nèi)部邊界曲線取順時針為正方向．,分段光滑的簡單閉曲線簡稱為周線.,2024/3/26,5,2.復(fù)變函數(shù)積分的定義,2024/3/26,6,,,,,,,,,,,2024/3/26,7,(,2024/3/26,8,二、積分存在的條件及其計算方法,1. 存在的條件,2024/3/26,9,證,參數(shù)增加的方向,,,正方向為,根據(jù)曲線積分的存在定理,,2

4、024/3/26,10,當(dāng) n 無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,,,,,在形式上可以看成是,公式,2024/3/26,11,,,2024/3/26,12,2. 積分的計算方法,即,2024/3/26,13,在今后討論的積分中, 總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, 曲線 C 是按段光滑的.,2024/3/26,14,例1,解,直線方程為,2024/3/26,15,例2,解,積分路徑的參數(shù)方程為,2024/3/26,16,例3,解,積分路徑的參數(shù)

5、方程為,,,,,,重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).,一個重要而常用的積分公式,2024/3/26,17,復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).,,絕對不等式,三、復(fù)積分的性質(zhì),2024/3/26,18,例4,解,根據(jù)估值不等式知,,2024/3/26,19,,,,,,o,1,1+i,2024/3/26,20,2024/3/26,21,2024/3/26,22,2024/3/26,23,2024/3/26,24,2024/3/

6、26,25,一、問題的提出,此時積分與路線無關(guān).,第二節(jié) 柯西積分定理,由于不滿足柯西－黎曼方程, 故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.,由以上討論可知, 積分是否與路線有關(guān), 可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.,2024/3/26,26,二、柯西積分定理,,定理中的 C 可以不是簡單曲線.,關(guān)于定理的說明:,(1) 如果曲線 C 是區(qū)域 B 的邊界,,(2) 如果曲線 C 是區(qū)域 B 的邊界,,定理仍成立.,2024/3/26,27,

7、例1,解,根據(jù)柯西積分定理, 有,三、典型例題,2024/3/26,28,例2,證,由柯西積分定理,,由柯西積分定理,,由上節(jié)例4可知,,2024/3/26,29,例3,解,根據(jù)柯西積分定理得,,2024/3/26,30,(1) 注意定理的條件“單連通域”.,(2) 注意定理的不能反過來用.,應(yīng)用柯西積分定理應(yīng)注意什么?,2024/3/26,31,1.問題的提出,根據(jù)本章第一節(jié)的討論可知,,由此希望將柯西積分定理推廣到多連域中.,四、

8、柯西積分定理的推廣—復(fù)合閉路定理,2.閉路變形原理,2024/3/26,32,得,2024/3/26,33,解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.,閉路變形原理,說明: 在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù) f(z) 的不解析的點.,,2024/3/26,34,3. 復(fù)合閉路定理,那末,2024/3/26,35,4.典型例題,例1,解,依題意知,,,,根據(jù)復(fù)合閉路定理,,2024/3/26,36,例2,解,圓環(huán)域的邊

9、界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,,,根據(jù)閉路復(fù)合定理,,2024/3/26,37,例3,解,由復(fù)合閉路定理,,,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為 不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線 內(nèi)即可.,2024/3/26,38,例4,解,由上例可知,復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理, 掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點.,常用結(jié)論:,2024/3/26,39,定理一,由定理一可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有

10、關(guān),,1. 兩個主要定理:,五、原函數(shù)與不定積分,,,,,2024/3/26,40,定理二,證,利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.,,由于積分與路線無關(guān),,2024/3/26,41,由積分的估值性質(zhì),,此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.,[證畢],2024/3/26,42,2. 原函數(shù)的定義:,原函數(shù)之間的關(guān)系:,3. 不定積分的定義:,定理三,(類似于牛頓-萊布尼茲公式),2024/3/26,43,證,根據(jù)柯西積分定理,,[證畢]

11、,說明: 有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計算.,4.典型例題,例1,解,由牛頓-萊布尼茲公式知,,2024/3/26,44,例2,解,(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法),例3,解,由牛頓-萊布尼茲公式知,,另解,此方法使用了微積分中“分部積分法”,2024/3/26,45,例4,解,利用分部積分法可得,課堂練習(xí),答案,例5,解,2024/3/26,46,例6,解,所以積分與路線無關(guān),,由牛頓-萊布尼茲公式

12、知,,2024/3/26,47,一、問題的提出,根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線 C 的變化,而改變,求這個值。,第三節(jié) 柯西積分公式及其推論,2024/3/26,48,,,,,,二、柯西積分公式,定理,證,此式稱為柯西積分公式,2024/3/26,49,,,證,根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與 R 無關(guān),,所以只有在對所有的 R 積分值為零時才有可能.,[證畢],2024/3/26,50,(1) 把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值

13、用它在邊界上的值表示.,(這是解析函數(shù)的又一特征),(2) 公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式.,(這是研究解析函數(shù)的有力工具),(3) 解析函數(shù)的平均值定理：一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.,則有,柯西積分公式的重要性在于:一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示, 所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.,2024/3/26,51,三、典型例題,例1,解

14、,由柯西積分公式,2024/3/26,52,例2,解(1),由柯西積分公式,由柯西積分公式,這種解法對嗎？為什么？,2024/3/26,53,例3,解,,由柯西積分公式,2024/3/26,54,例4,解,由閉路復(fù)合定理, 得,,2024/3/26,55,例5,解,根據(jù)柯西積分公式知,,比較兩式得,2024/3/26,56,其中積分方向應(yīng)是順時針方向.,柯西積分公式對無界區(qū)域也是成立的，,五、解析函數(shù)的無窮可微性,問題:,(1) 解析函

15、數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?,(2) 若有高階導(dǎo)數(shù), 其定義和求法是否與實變函數(shù)相同?,回答:,(1) 解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).,(2) 高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示, 這與實變函數(shù)完全不同.,解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?,2024/3/26,57,定理,證:略,2024/3/26,58,高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: 不在于通過積分來求導(dǎo), 而在于通過求導(dǎo)來求積分.,,例1,解,2024/3/26,59,,,由復(fù)合閉路定理,2024

16、/3/26,60,例2,解,2024/3/26,61,例3,解,由柯西積分定理得,由柯西積分公式得,2024/3/26,62,例4,解,2024/3/26,63,,,,,,,,,,,六、柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理,定理1 (柯西不等式)設(shè) 在區(qū)域D內(nèi)解析， 為D內(nèi),一點，區(qū)域 包含于D，則有,其中,證明：在 上應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)公式，則有,由柯西不等式，容易

17、得到劉維爾定理。,劉維爾定理:z平面上解析且有界的函數(shù) 必為常數(shù)．,由劉維爾定理，可以證得到代數(shù)學(xué)基本定理。,2024/3/26,64,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,代數(shù)學(xué)基本定理　在z平面上，n次多項式,（ ）至少有一個零點．,證(反證法)假設(shè) 在z平面上無零點，由于 在平面上解析，,從而 在z平面上也是解析的．其次，由于,所以,，于是

18、 ，使得 ， 。,又因為 在 上連續(xù)，故 ，使得 ，,從而在z平面上有 ，即 在z平面上解析且有界，,因此根據(jù)劉維爾定理， 為常數(shù)，故 亦為常數(shù)，,這與已知 為多項式矛盾，定理得證．,2024/3/26,65,,,,,,,,,,

19、,,七、摩勒拉(Morera)定理,柯西積分定理說明，只要 在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一圍線均有 。我們現(xiàn)在證明其逆也是正確的．,摩勒拉定理　設(shè)函數(shù) 在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對D內(nèi)任一圍線C，有 ，則 在D內(nèi)解析．,證,依題意可知,可由導(dǎo)數(shù)的定義證明,因為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),,2024/3/26,66,例6,證,不等式即證.,20

20、24/3/26,67,例7,證,積分值與R無關(guān)，故有f(a)=f(b).由a,b的任意性得f(z)為常數(shù).,2024/3/26,68,例8,證,任取一點z=a,取圍道C為|z|=R>|a|,逆時針方向,由柯西積分公式有,即有,由a的任意性得f(z)為常數(shù).,小結(jié)：高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式. 它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論, 同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.,2024/3/26,69,高階導(dǎo)數(shù)公

21、式,這一點與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.,定義,調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際問題中有很重要的應(yīng)用.,第四節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,一、調(diào)和函數(shù)的定義,2024/3/26,70,定理,任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù).,證,二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理,,[證畢],2024/3/26,71,三、 共軛調(diào)和函數(shù)的定義,區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).,四、

22、偏積分法,如果已知一個調(diào)和函數(shù) u, 那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而構(gòu)成一個解析函數(shù)u+vi. 這種方法稱為偏積分法.,2024/3/26,72,解,得一個解析函數(shù),這個函數(shù)可以化為,例1,2024/3/26,73,例2,解,所求解析函數(shù)為,2024/3/26,74,五、 不定積分法,不定積分法的實施過程:,將上兩式積分, 得,2024/3/26,75,例3,解,根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得,所求解析函數(shù)為,20

23、24/3/26,76,用不定積分法求解例1中的解析函數(shù) ，其,例4,解,2024/3/26,77,例5,解,用不定積分法求解例2中的解析函數(shù) ,其,2024/3/26,78,例6,解,兩邊同時求導(dǎo)數(shù),所以上面兩式分別相加減可得,注1 任意兩個調(diào)和函數(shù)u與v所構(gòu)成的函數(shù)u+iv不一定是解析函數(shù).,注2 滿足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v稱為u的共軛調(diào)和函數(shù), u與v注意的是地位不能顛倒.,