大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源庫_13869

1、繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第一講,2,第一節(jié) 函數(shù),一、函數(shù)的概念,第一章 函數(shù)與極限,第一講,3,? 函數(shù)的定義,4,函數(shù)的記號還有:,5,構(gòu)成函數(shù)的兩要素:,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同, 則兩個函數(shù)就相同, 否則就不相同.,否則稱為多值函數(shù).,6,?例1 判斷下列各對函數(shù)是否是相同的函數(shù)：,?解,?例

2、題,7,?例2,?解,?例題,8,?例3,?解,故,?例題,9,?說明 當(dāng)給定一個函數(shù)y=f(x)時，就意味著其定義域是同時給定的，若函數(shù)是某個實際問題， 則其定義域必須符合實際意義；否則其定義域應(yīng)使函數(shù)y=f(x)在數(shù)學(xué)上有意義即可.,10,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第二講,12,第一節(jié) 函數(shù),第一章

3、函數(shù)與極限,第二講,二、 表示函數(shù)的三種主要方法,13,列表法、圖形法、解析法(即公式法).1.列表法用列出的表格來表示變量的函數(shù)關(guān)系的方法稱為列表法.,?例,下表給出了本市國慶期間每天的最高氣溫:,表示函數(shù)的三種主要方法：,14,,,,,,,,,,2.圖形法 用函數(shù)的圖形來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法稱為圖形法.,15,?例如,,3.解析法(即公式法). 用一個等式表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法稱為解析法.,16,?

4、例1,?解,?例題,17,?例2,?解,?例題,1. 絕對值函數(shù),,,?例如,19,在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù), 稱為分段函數(shù).,,,注意 分段函數(shù)是用幾個解析式合起來表示一個函數(shù)，而不是表示幾個函數(shù).,20,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第三講,22,第一節(jié) 函數(shù),第一章 函數(shù)與極限,

5、第三講,三、函數(shù)的四個簡單性質(zhì),23,1. 函數(shù)的奇偶性,24,從幾何圖形上看奇偶性:,偶函數(shù)圖形關(guān)于y 軸對稱,,奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱,25,?例,?解,26,2.函數(shù)的單調(diào)性,27,從幾何圖形上看單調(diào)性:,,,,,28,3.函數(shù)的有界性,29,?例如,有界;,無界,,無界.,30,4. 函數(shù)的周期性,注意 通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.,31,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education,

6、 Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第四講,33,第一節(jié) 函數(shù),第一章 函數(shù)與極限,第四講,五、基本初等函數(shù),四、反函數(shù),34,?反函數(shù)的定義,四、反函數(shù),35,?反函數(shù)的性質(zhì),相對于反函數(shù)而言, 原來的函數(shù)稱為直接函數(shù).,,,,,36,（2）反函數(shù)存在定理 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),?例 求下列函數(shù)的反函數(shù),?解,（2）同理可得反函數(shù),37,冪函數(shù):,指數(shù)函數(shù):,對數(shù)函數(shù):,特殊地:,五、基本初等函數(shù),

7、38,三角函數(shù):,反三角函數(shù):,正割函數(shù),余割函數(shù),,,,,,,,(1)冪函數(shù),( 是常數(shù)),(2) 指數(shù)函數(shù),(3) 對數(shù)函數(shù),42,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第五講,44,第一節(jié) 函數(shù),第一章 函數(shù)與極限,第五講,七、初等函數(shù),六、反三角函數(shù),45,1.反三角函數(shù),反函數(shù)存在定理 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)

8、,反正弦函數(shù),47,反余弦函數(shù),49,反正切函數(shù),51,53,2. 復(fù)合函數(shù)的定義,構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件:,注意：一個復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程并不是唯一的,54,3.初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合運算所構(gòu)成的,并可用一個式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù).,?例 求下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程,?解,55,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理

9、專）,授課教師：楊泰山,第六講,57,第一章 函數(shù)與極限,第六講,第二節(jié) 函數(shù)的極限,一、數(shù)列極限的定義,微積分是以函數(shù)為研究對象，以極限方法為研究手段的一門課程.以極限作為研究工具研究變化率的問題就產(chǎn)生了微分學(xué)，研究無窮累積的問題就建立了積分學(xué)，因此，極限理論是微積分的基本內(nèi)容. 本章首先給出極限的概念，然后研究求極限的方法，應(yīng)用極限研究函數(shù)的連續(xù)性.,極限概念是由于求某些實際問題的精確

10、解答而產(chǎn)生的.例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.具體如下：,1.問題的引入,60,由此我們可以看到只要正多邊形邊數(shù)不斷增加，這些正多邊形的面積和周長不斷接近圓面積和周長，這個不斷接近的過程就是一個極限過程.用利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積——割圓術(shù):,,圓內(nèi)接正六邊形面積,圓內(nèi)接正十二邊形面積,圓內(nèi)接正二十四邊形的面積,面積值構(gòu)成一列有次序的數(shù),61,內(nèi)接正多邊形與圓的

11、差別越小,,內(nèi)接正多邊形無限接近于圓,,62,例如,2.數(shù)列的定義,63,從幾何上看,,數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列. 可看作一動點在數(shù)軸上依次取,,,,,,,,,,,,,數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù),64,?數(shù)列極限的定義,65,?解,?例,?例,?解,66,?解,?例,67,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第七講,69,

12、第一章 函數(shù)與極限,第七講,第二節(jié) 函數(shù)的極限,二. 自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限,70,1.問題的引入,71,72,自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限,73,2. 自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限,,,,,,,75,定義1,定義2,76,定義3,定理1,77,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第八講,79,第一章 函數(shù)與極限,第八

13、講,第二節(jié) 函數(shù)的極限,三. 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限,80,自變量趨于定點時函數(shù)的極限.,81,自變量趨于有限值時函數(shù)的極限,82,定義4,結(jié)論,83,定義5,定義6,84,定理2 函數(shù)極限存在的充要條件是左極限與右極限各自存在且相等,即,85,?例,?解,86,例,?,?解,87,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,

14、第九講,89,第一章 函數(shù)與極限,第九講,第二節(jié) 函數(shù)的極限,四 、無窮小與無窮大,五、兩個重要極限,90,1. 無窮小的定義,簡言之, 極限為零的變量稱為無窮小.,定義7,四 、無窮小與無窮大,91,?例如,注意,1.無窮小是變量, 不能與很小的數(shù)混淆;,2.無窮小是相對于自變量的變化過程而言的.,92,簡言之, 絕對值無限增大的變量稱為無窮大.,定義8,2.無窮大的定義,注意,無窮大是變量, 不能與很大的數(shù)混淆;,93,定義9,定義

15、10,94,3.無窮大與無窮小的關(guān)系,定理 3,關(guān)于定理3的說明:,定理3的意義在于關(guān)于無窮大的討論, 都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,95,1.重要極限,五、兩個重要極限,2.重要極限,96,注意 應(yīng)該掌握兩個重要極限的結(jié)構(gòu)特點:,只要符合上述結(jié)構(gòu)形式，其極限公式成立,具體例題下節(jié)講.,97,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰

16、山,第十講,第三節(jié) 極限的運算,第一章 函數(shù)與極限,一、極限的運算法則,第十講,100,定理1,1、極限的運算法則,101,推論1,推論2,102,定理2,有限個無窮小的和也是無窮小.,定理3,有限個無窮小的乘積也是無窮小.,定理4,有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3,常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,定義,103,證明,定理5,此定理說明：求兩個無窮小商的極限時，分子與分母都可以用其等價無窮小來代替，從而使極限的計算簡化.,104,

17、常用等價無窮小:,105,2、極限運算的10個基本公式,106,107,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第十一講,第三節(jié) 極限的運算,第一章 函數(shù)與極限,第十一講,二、極限運算的10個基本類型（Ⅰ）,110,?例1,?解,111,?解,?例2,112,?解,?例3,?例4,?解,113,?解,?例5,?例6,?解,114

18、,小結(jié):,115,?例7 求下列極限,?解,116,117,?解,118,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第十二講,第三節(jié) 極限的運算,第一章 函數(shù)與極限,第十二講,二、極限運算的10個基本類型（Ⅱ）,121,?例8 求下列極限,?解,122,解（2）,123,解（3）,結(jié)論：,124,?解（4）,125,?例9,?解因

19、為,126,?例10,?解,127,?例11,?解,128,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第十三講,第一章 函數(shù)與極限,第十三講,第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,一、函數(shù)的連續(xù)性定義,131,定義1,132,?增量的定義,增量可正可負.,133,134,定義2,135,136,2. 函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連

20、續(xù),在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,137,(1) 左連續(xù):,(2) 右連續(xù):,3. 函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),138,139,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第十四講,第一章 函數(shù)與極限,第十四講,第四節(jié) 函數(shù)

21、的連續(xù)性與間斷點,二、函數(shù)的連續(xù)性舉例,142,?例1,證,143,?例 有關(guān)有理函數(shù)的討論.,故有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點連續(xù).,144,?例,?解,145,?例,?解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,,,解,?例,148,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第十五講,第一章 函數(shù)與極限,第十五講,第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,

22、三、函數(shù)的間斷點,151,三、函數(shù)的間斷點,152,?定義,153,?間斷點的分類,第一類間斷點中, 左、右極限相等者稱為可去間斷點, 不相等者稱為跳躍間斷點.,不是第一類間斷點的任何間斷點, 稱為第二類間斷點.,無窮間斷點和振蕩間斷點屬于第二類間斷點.,154,說明 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,?例,若補充定義:,(1). 可去間斷點,155,?例,(2). 跳躍間斷點,156,?例,(3).

23、振蕩間斷點,157,(4). 無窮間斷點,?例,158,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰山,第十六講,第一章 函數(shù)與極限,第十六講,第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,四、連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性,161,例如：,?定理,162,?定理,例如：,反函數(shù)的連續(xù)性,163,例如：,總之, 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,16

24、4,?定理,?復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,165,(1) 三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的 .,166,基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,,一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,初等函數(shù)求極限的方法代入法.,167,?例,?例,?解,?解,168,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專）,授課教師：楊泰

25、山,第十七講,第一章 函數(shù)與極限,第十七講,第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,五、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),171,例如,,五、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),172,在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值.,?定理 (有界性與最大值最小值定理),,,,,173,注意:若區(qū)間是開區(qū)間, 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點, 那么函數(shù)不一定有界, 也不一定有最大值或最小值.,例如,174,?零點的定義:,?定理 (零點定理),17