第二章 非線性代數(shù)方程組的解法

1、7第二章第二章非線性代數(shù)方程組的解法非線性代數(shù)方程組的解法在非線性力學中，有多種類型的非線性問題，如材料非線性、幾何非線性、接觸非線性等。無論是哪一類非線性問題，經(jīng)過有限元離散后它們都歸結(jié)為求解一個非線性代數(shù)方程組：0)(0)(0)(21212211???nnnn??????????????ψψψ其中是未知量，是的非線性函數(shù)，現(xiàn)引用矢量記n???21?nψψψ21?n???21?號Tn][21?????δTn][21ψψψψ??上述方程

2、組可表示為0δψ?)(還可以將它改寫為0RδδKRδFδψ?????)()()(是一個的矩陣，其元素是矢量的函數(shù)，為已知矢量。在位移有限元中)(δKnn?ijkδR代表未知的結(jié)點位移，是等效結(jié)點力，為等效結(jié)點荷載，方程表示結(jié)δ)(δFR0δψ?)(點的平衡方程。在線彈性有限元中，線性代數(shù)方程組0RKδ??可以毫無困難地求解，但對非線性方程組則不行。一般來說，難以求得其精確解，0δψ?)(通常采用數(shù)值解法，把非線性問題轉(zhuǎn)化為一系列線性問題

3、。為了使這一系列線性解收斂于非線性解，曾經(jīng)有過許多方法，但這些解法都有一定的局限性。某一解法對某一類非線性問題有效，但對另一類問題可能不合適。因而，根據(jù)問題性質(zhì)正確選用求解方法成為非線性有限元的一個極重要的問題。本章將介紹有限元分析中常見的各種求解非線性方程組的數(shù)值方法。2.1迭代法迭代法前面已經(jīng)提到，目前求解非線性方程組的方法一般為線性化方法。若對總荷載進行線性化處理，則稱為迭代法。2.1.1直接迭代法直接迭代法對非線性方程組(21)

4、0RδδK??)(設(shè)其初始的近似解為，由此確定近似的矩陣0δδ?K)(00δKK?根據(jù)式〈21〉可得出改進的近似解RKδ101)(??重復這一過程，以第i次近似解求出第i＋1次近似解的迭代公式為9對于一個單變量問題的非線性方程，直接迭代法的計算過程如圖21和圖22所示，它們分別給出為凸和凹曲線時的迭代過程。可以看出就是過曲線上點(?~F)(?K))(??F與原點的割線斜率。對于單變量問題，這一迭代過程是收斂的，但對多自由度情況，由于未知

5、量通過矩陣耦合，迭代過程可能不收斂。K2.1.2Newton—Raphson方法方法Newton—Raphson方法是求解非線性方程組(24)0RδFδψ???)()(的一個著名方法，簡稱Newton法。以下將介紹這種方法。設(shè)為具有一階導數(shù)的連續(xù)函數(shù)，是方程（24）的第i次近似解。若)(δ?iδδ?0RδFδψψ????)()(iii希望能找到一個更好的、方程（24）的近似解為(25)iiiδδδδ?????1將（25）代入（24），并

6、在附近按一階Tayl級數(shù)展開，則在處的線性近iδδ?)(δψiδ似公式為iiiiδδψψψ??????)(1其中iiδδδψδψ??????)()(??nnψψψδψ??2121)(??????????????????????????????????引入記號iiTiT)()(δψδKK????假定為真實解，則由1?iδ0δKψδδψδψ????????iiTiiii)()(1解出修正量為iδ?(26))()()(11iiTiiTiFRK