第6章 變幾何問題延拓和移動(dòng)邊界

1、第七章第七章變量耦合：反問題、線積分、積分方程變量耦合：反問題、線積分、積分方程和積分微分方程和積分微分方程W.B.J.ZIMMERMepartmentofChemicalProcessEngineeringUniversityofSheffieldNewcastleStreetSheffieldS13JDUnitedKingdomEmail:本章進(jìn)一步深入探索耦合變量，考慮如何利用耦合變量求解反演方程和各種類型的積分方程。本章選擇了四

2、種重要的應(yīng)用實(shí)例——使用激光探測(cè)位置，污染云層的傳播，電容層析成像反演問題，纖維媒介中的非局部傳熱以及顆粒處理中的聚集平衡方程。我們將用到之前在COMSOLMultiphysics中沒有用到的新特征——通過MATLAB與優(yōu)化工具箱耦合，擴(kuò)展網(wǎng)格，使用瞬態(tài)求解器作為穩(wěn)態(tài)非線性模型的迭代工具，以及在耦合模式下選擇激活非激活多物理場(chǎng)模式的能力。后者對(duì)于單一耦合問題非常有用（如第3章中介紹的球形顆粒表面催化劑周圍的水動(dòng)力學(xué)問題）。為了處理本章中

3、的積分方程，設(shè)置輔助域上的虛擬因變量。耦合變量在該域進(jìn)行各種運(yùn)算，但是因變量本身并不需要。因此，可以更好的調(diào)節(jié)對(duì)積分方程的有限元近似。1.引言引言我們已經(jīng)對(duì)邊界和域積分較為熟悉了——可以在COMSOLMultiphysics的后處理菜單中選擇。邊界積分對(duì)計(jì)算各種表面量非常有用：例如靜電體表面電荷，流體中的曳力等。域積分常用于平均和在域中定義的較高程度自由度的結(jié)合。這些特征是可信的，并給出了通過積分形式表達(dá)的有限元方法，伽遼金方法（見第2

4、章），COMSOLMultiphysics包含了有效和精確的積分算法。因此，如果讀者對(duì)任意積分階數(shù)的數(shù)值積分或者常微分方程組（ODES）感興趣，可以查閱MATLAB的內(nèi)置函數(shù)（見第1章），這里不再贅述。在本章中將討論積分方程及其理論的更多復(fù)雜應(yīng)用，均采用COMSOLMultiphysics求解。線積分、積分方程以及積分－微分方程是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，也是COMSOLMultiphysics之所以具備變量耦合能力的基礎(chǔ)。這也是為什么本章要

5、取名為“多物理場(chǎng)耦合問題的伸展”。盡管題目選定了，但這只是說明性的，我們?nèi)匀灰越鉀Q化工過程中的問題為目標(biāo)，對(duì)COMSOLMultiphysics的特征進(jìn)行深入了解。這里最重要的是使用激光雷達(dá)定位以及氣體污染云層的擴(kuò)散，聚集平衡方程（通常為微分方程的初值問題），電容層析的反演問題，以及纖維媒介中的非局部傳熱問題的計(jì)算。擴(kuò)展多物理場(chǎng)在第一個(gè)方法中，我必須承認(rèn)自己曾對(duì)我們要研究的擴(kuò)展的多物理場(chǎng)問題保持懷疑的態(tài)度。最終，標(biāo)量耦合變量吸引了我，并

6、提供了撰寫第4章的素材。它也促使我的課題組對(duì)微流網(wǎng)絡(luò)這樣一個(gè)新的領(lǐng)域產(chǎn)生了興趣。目前，COMSOLMultiphysics提供了其他兩種耦合變量的概念－拉伸和投影耦合變量。關(guān)于使用他們的例子均與后處理有關(guān)，例如，用于在域的截面函數(shù)性的表達(dá)求解結(jié)果以分析特定特征。盡管如此，在一些較少出現(xiàn)的情況下，耦合變量（拉伸和投影）會(huì)應(yīng)用到模型中與獨(dú)立域變量同時(shí)求解。多個(gè)域、多尺度以及多過程模型對(duì)于工程數(shù)學(xué)圖像方面的應(yīng)用。該項(xiàng)工作開創(chuàng)了ECT技術(shù)在密相

7、氣動(dòng)傳輸方面的應(yīng)用，并展示了電容層析成像技術(shù)在在線過程控制方面的發(fā)展?jié)摿?。文獻(xiàn)[13]中對(duì)該領(lǐng)域的工作做了較好的回顧。層析成像裝置包括三個(gè)主要部件：傳感器陣列（通常采用12電極；66獨(dú)立測(cè)試），數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和圖像重構(gòu)系統(tǒng)。電容測(cè)量從電極中獲得，但電極有可能被污染。對(duì)于每個(gè)電極對(duì)，均進(jìn)行如下的充－放電操作：工作電極在給定電壓下充電（15V），測(cè)試電極接地，同時(shí)連接電流測(cè)試裝置。該測(cè)試裝置給出振蕩電流的平均數(shù)值，獲得與未知電容值成一定比例的

8、電壓。基本的電容數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于電荷傳遞定律。放電電流產(chǎn)生了一個(gè)負(fù)的輸出電壓。典型的充放電循環(huán)以1MHZ頻率重復(fù)，連續(xù)的充電放電電流脈沖在兩個(gè)電極之間進(jìn)行平均，產(chǎn)生兩個(gè)直流輸出電壓。在電極布置之前需進(jìn)行儀器校準(zhǔn)，傳感器裝置由較低介電常數(shù)物質(zhì)填充。該步驟可以提供介電常數(shù)的參考值。然后當(dāng)管道中充滿較高介電常數(shù)物質(zhì)時(shí)改變電流測(cè)試的敏感性。校正步驟對(duì)于所研究的任何一類材料均是必要的。通過使用幻燈算法進(jìn)行圖像重構(gòu)，可獲得管道中濃度分布的圖像。現(xiàn)有

9、的ECI算法技術(shù)能夠以每秒100幀的速度生成圖像，幾乎可以獲得過程中的實(shí)時(shí)信息。盡管如此，現(xiàn)有的ECT系統(tǒng)分辨率較低（110管道半徑）。造成該局限的主要原因是每個(gè)電極的表面積較大，對(duì)于所有的實(shí)際目的，充放電時(shí)電極之間的電場(chǎng)線是平行的，這樣可使圖像的重構(gòu)過程變得較為簡(jiǎn)單。如果使用更多或者更小的電極，則有希望獲得較高的分辨率，但是會(huì)使重構(gòu)算法變得更為復(fù)雜。這種情況下將不得不求解泊松方程以獲得內(nèi)部介電常數(shù)場(chǎng)。這部分內(nèi)容里，我們將給出在稀疏系統(tǒng)