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1、1關(guān)于實二次型化零向量的一些思考關(guān)于實二次型化零向量的一些思考戴培培1楊忠鵬1林志興1嚴劍龍2郭文靜3嚴益水21莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系2.福建師范大學(xué)數(shù)計學(xué)院3.廈門大學(xué)數(shù)科院莆田學(xué)院教改項目(JG200712、JG200820)二次型是高等代數(shù)教學(xué)中一個很重要的內(nèi)容。在各種教材中已詳細的介紹了二次型的各種性質(zhì)及結(jié)論,如任意實數(shù)域上的二次型均可通過適當?shù)姆峭嘶€性替換將其化成規(guī)范形,且規(guī)范形唯一?,F(xiàn)在我們利用這一結(jié)論來討論實二次型化零向量的問題
2、。1問題的提出問題的提出在各個高校使用的高等代數(shù)教材中,一般會出現(xiàn)這樣一個問題:問題問題1[124]設(shè)是一實二次型.若有實維1()nXAXfxx??1nnnxXARAAx???????????????n向量使得則一定存在實維向量使得12XX110XAX?220XAX?n00X?.000XAX?問題問題2[24]設(shè)為級實對稱矩陣與為兩個線性無關(guān)的維向量An1X2Xn,則存在兩個與線性相關(guān)的維向量,而線112200XAXXAX??12XXn
3、34XX34XX性無關(guān),且33440.XAXXAX??問題問題3[14]設(shè)二次型的秩為則在中存在維數(shù)為的子1()nXAXfxx??nnR1(||)2ns?空間則對任一向量有其中為二次型的符號差.1V01XV?000XAX?s更一般的情形,設(shè)二次型的秩為則在中存在維數(shù)為1()nXAXfxx??()rrn?nR的子空間則對任一向量有其中為二次型的符號差.1(||)2rs?1V01XV?000XAX?s問題問題4[3]設(shè)是一實二次型存在維向量
4、1()nXAXfxx?Ln12111XXXAXc?,一定存在實維向量使得222XAXc?12102()ccccc???n0X000XAXc?說明說明(1)這是本科高等代數(shù)課程中的基本訓(xùn)練題,基本涵蓋二次型的一些方法,也可以用來測試學(xué)生二次型部分的知識掌握情況。(2)問題1說明了化零向量的存在,問題2說明了至少存在兩個化零向量且線性無關(guān),問題3說明了存在一個維數(shù)為的化零子空間這三個問題一個比一個深入。問題1(||)2ns?4說明了二次型具
5、有介值性。3的正負慣性指數(shù)則有個線性1()nXAXfxx?L1()nXAXfxx?L2pqnpq???無關(guān)的基本化零向量.結(jié)論結(jié)論4設(shè)實二次型的秩為則的全部1()nfxxLXAX?()rrn?1()nfxxLXAX?基本化零向量未必能構(gòu)成線性空間.若A是不定的,則全部化零向量不能構(gòu)成線性空間;若A是半正定或半負定時,全體化零向量構(gòu)成的維數(shù)為的子空間.nR()nrA?我們知道有這樣的二維勾股數(shù),也有三維、四維勾股數(shù)(見[5])222zxy
6、??xyzZ?因此化零向量有另一種取法(分量之間的關(guān)系滿足勾股定理)。所以化零向量的構(gòu)造不是唯一的具有多樣性,需要我們不斷地探索.這部分的內(nèi)容在各個教材中基本都當做習(xí)題來解決,若是教師能在課堂上提出這個問題,學(xué)生在課后可以自己去補充完成證明,讓他們對二次型有更深刻的理解,亦可拓展他們的思維空間.3問題的延伸問題的延伸在對二次型化零向量的集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論的基礎(chǔ)上,又查閱了劉先平所寫的《關(guān)于二次型的介值性》[3]其中主要證明了介值定理的
7、存在性。命題命題1是一實二次型若有維向量1()nfxxXAX?設(shè)Ln12XX111XAXc?若為介于與的任意實數(shù)一定存在實維向量222XAXc?12cc?0c1c2cn0X.000XAXc?使得定理定理1設(shè)是一實二次型存在維向量1()nXAXfxx?Ln12111XXXAXc?則的解向量存在但不唯一且222XAXc?12102()()ccccc???0XAXc?的全部解向量不構(gòu)成線性空間.0XAXc?例1設(shè)是一實二次型而且是不定矩陣,存
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